第二章第3节勾股定理的应用举例
七年级数学课程，采用山东教育版教材，课题为《勾股定理的应用》，授课教师为宋金祥老师。
【本讲教育信息】
一.教学内容,
[id_1169789082]
2、应用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
二.学习重点、难点,
[id_1717380012]
正确地分析题意,沟通已知、结论的联系是解决问题的关键。
三.学习要点,
1、勾股定理,
若一个直角三角形的两条直角边分别标记为a和b，而斜边标记为c，则可以得出结论开元ky888棋牌官网版，即该直角三角形的两条直角边的长度平方之和，恰好等于斜边长度的平方。
推理,(1),90
∴或或c(2b)b
2a,
∴S1(S2)S3
值得注意的是，在我国古代，人们将直角三角形中的两条直角边分别命名为勾和股，而斜边则被称作弦。
2、直角三角形的判别条件,即勾股定理的逆定理,,
若三角形的三边长度分别为a、b、c，并且它们满足条件a的平方等于b的平方与c的平方的乘积，则该三角形属于。
即,∵∴c,,90
3、勾股数,满足a2(b2)c2的三个,称为勾股数。
常见的勾股数包括3、4、5，以及12、13、7、24、25、8、15、17等，值得注意的是，这些勾股数组的任意整数倍依然属于勾股数，例如3、4、5的2倍即为6、8、10。
4、经典例题讲解,
应用1,面积关系与勾股定理例1、如图(S)_
___________
s12
11
分析,因为(S)AC2,
所以(S)23
练一练,
2,由勾股定理可知(AC2)122(112)23
如图所示，在这三个正方形中，其中两个的面积分别为169和144，那么第三个正方形的面积S即为23。
A.50B.30C.25D.100.
观察图形可知，图形内的所有四边形均为正方形，而三角形则全部为直角三角形。特别地，最大的正方形边长达到了7厘米。据此，我们可以计算A、B、C、D四个图形的面积之和，其结果为多少平方厘米。
应用2,勾股定理直接应用,知二求一,
图中标示的长度为(BC)3厘米、(AB)4厘米以及(AF)12厘米，涉及到的角度包括∠ABC和∠FAC，均为90°，且正方形CDEF的面积需要计算。
(求)
ABCD
解：由于∠ABC等于90°，因此可以得出AC的平方等于AB的平方加上BC的平方，即AC²=AB²+BC²（4²+3²），从而AC的长度为5。又因为∠FAC也是90°，所以FC的平方等于FA的平方加上AC的平方，即FC²=FA²+AC²（12²+5²），从而FC的长度为13。因此，正方形CDEF的面积等于13乘以13，即169。
请尝试，根据已知条件，在等腰三角形ABC中，边长AB等于AC（均为13），边长BC等于10，求三角形ABC的面积。
ABC,_
______
_。
应用3,勾股定理的逆定理的应用,
例3、判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长。
(1)8(15)17(2)7(12)15
解：因为82乘以152等于12464，64乘以225等于14400，289乘以172等于49708，所以289乘以172等于49708。因此，82乘以152等于12464，再乘以172等于49708。
∴8、15、17可以作为直角三角形的三边长
由于72乘以122等于49乘以144，再等于193乘以152，最终等于225，因此可以得出结论，72和122不等于152。
∴7、12、15不能作为直角三角形的三边长
如图所示，在三角形ABC中，点D位于边BC上，满足AB的长度为10，BD的长度为6，AD的长度为8，AC的长度为17。现要求出三角形ABC的面积。
在分析过程中，我们需要计算三角形的面积，而这需要知道三角形的底边和高度。由于ABD的三边长度已知，我们可以通过应用勾股定理的逆定理来判断ABD是否为直角三角形。若确实为直角三角形，则AD边即为高。因此，我们只需计算出底边BC的长度即可。
解：由条件AB²等于10²减去AD²乘以BD²，再减去BD²乘以8²减去6²，等于10²；因此，AB²等于AD²乘以BD²；所以，角ADB是90°；进而，角ADC也是90°；因此，DC²等于AC²加上AD²乘以17²减去8²，等于225；所以，DC等于15；进而，BC等于BD加上DC，等于21。
∴SABC(84111)ADC
练一练,
图示中，该长方体的高度为3厘米，其底面构成一个边长为2厘米的正方形。目前，一根绳子从点A开始，沿着长方体的侧面进行缠绕。
方形表面到达C处,则绳子最短是,,
A、3cmB、4cm,C、5cmD、6cm
展开图
在解决涉及勾股定理和直角三角形判别条件，亦即勾股定理逆定理的实际问题时开yun体育app入口登录，通过应用“在两点之间，直线段总是最短”的原理，可以较为简便地找到答案。
此图展示了一个由三级构成的平台，每级台阶的尺寸分别是长度20分米、宽度3分米和高度2分米。A和B是该台阶上相对的两个末端，A点上有一只蚂蚁，这只蚂蚁打算前往B点觅食，若蚂蚁沿着台阶表面爬行，到达B点的最短路径为__________。
AC03B展开图
图中展示的是一个长方体，其边长分别为AB 3厘米、BC 4厘米和AA 12厘米，现需计算对角线AC的长度。
A1
D1
DB
应用4,面积法证题
在图中，CD是直角三角形ABC斜边AB上的垂线，已知AB的长度为17，AC的长度为15，现需计算CD的长度。
A、B、C、17D、720120
717
CB
由勾股定理的证明方法可知,面积方法的实质就是,
一个图形的面积,两种不同的求法
即，因此AC乘以BC，AB乘以CD，得到DBCCABC，211解，由于AC等于15，AB等于17，且∠ACB为90°，所以BC的平方等于（AB的平方加上AC的平方），即（17的平方加上15的平方），得到64，因此BC等于8。又因为AC乘以BC等于AB乘以CD，得到DBCCABC，211解。
即,15×8,17×CD∴CD,故,答案选B720
应用5,方程法解直角三角形
CD旗杆全长18米，在A点发生折断。从旗杆顶端至底部C点的长度为12米。需要计算的是，折断点A距离地面的具体高度。
在三角形ABC中，我们仅知晓边BC的长度，无法直接通过勾股定理计算出其他边的长度。然而，我们知道AC与AB两边的长度之和为18，即AC加上AB等于18。若设AC的长度为x，则AB的长度为18减去x。通过应用勾股定理，我们可以建立一个方程来求解这个问题。
解：设AC的长度为x，那么AB的长度（18x）根据勾股定理可以表示为AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，即（18x）的平方等于x的平方加上12的平方，即（18x）的平方等于x的平方加144。
324(36x)x2(x2)144
∴(36x),180∴x,5
答,折断处A离地面5米。
在我国古老的数学经典《九章算术》中，记载了一个引人入胜的问题，其内涵是这样的，
该水池中，水面覆盖的是一个每边长度为10尺的正方形，池中心处竖立着一根嫩绿的芦苇，其高度超出水面1尺，如图所绘。若将此芦苇垂直向池边拉动，其尖端将触及池边的水面。请问，池水深度几何？芦苇总长又是多少？
解,设水深为尺,则芦苇长为尺,(1),
根据勾股定理得
220(1)x,,,,,
22221xx,,,
2512x,
2x
12.,
芦苇的高度，以尺为单位，测量结果为12尺1寸13分，据此推断，水池的深度为12尺，而芦苇的实际长度则为13尺。
课堂小结,
本节课重点探讨了勾股定理及其逆定理的实际运用，涵盖了三种主要情形：首先，在直角三角形中，若已知任意两条边的长度，即可计算出第三边的长度；其次，若已知其中一边及其与另外两边的关系，可以通过设定未知数，列出方程来解决问题；最后，若已知三角形的三边长度，可以判断该三角形是否为直角三角形。
【模拟试题】 ,答题时间, 50分钟,
一、填空题,
在直角三角形ABC中，角C的度数为90度，且边长a的长度为5，边长b的长度为12，因此，边长c的长度为多少？
目前拥有一根长度为米的梯子，该梯子已稳固地靠在建筑物上，其底部与地面之间的水平距离为米。据此，该梯子能够触及建筑物的高度为米。假设梯子沿着建筑物垂直方向下滑米，那么建筑物底部与梯子底部在地面上的距离将达到米。
在AB C这个图形中，若其三边长度分别是9、12和15，那么由两个这样的三角形拼接而成的整体面积计算如下：，，。
在图中，若中线与BC相交，那么交点将位于BC的13和10B之间，或者位于12D与AC的延长线上。
在2007年江苏徐州的课改中，如图所示，已知在三角形ABC中，边长AB为t厘米，边长BC为4厘米，且角ABC为90度。
cm开yunapp体育官网入口下载手机版，目前正对进行折叠处理，以实现顶点的对齐，此时所形成的折痕长度为cm，对应于点C、A、B以及点D和E所构成的折痕。
A B
在2007年江苏扬州的课改中，所展示的是一个矩形外轮廓的机器零件平面图。依据图上标注的尺寸和单位，经过计算，可以得出两个圆孔中心之间的距离分别是______米，以及______毫米。
______
存在一个圆柱形的储油罐，其形状如图所示。若需在罐体上设置梯子，使其从底部环绕罐体至顶部，且梯子的底部刚好位于罐顶正下方A点，那么该梯子的长度至少应为m。已知油罐的周长为12米，罐体的高度为m。
,,
二、选择题,
在2007年安徽芜湖的课改中，如图所示，所有四边形均为正方形，而所有三角形均为直角三角形。特别地，最大的正方形边长为10厘米。正方形A的边长为6厘米，正方形B和C的边长均为5厘米。据此，我们可以计算出正方形D的边长。
A( cm B) 4cm C( cm D) 3cm4 15
*9、下列各组线段中的三个长度
9号、12号、15号，以及7号、24号、25号，还有32号、42号、52号，以及3a、4a、5a，其中a的值大于0。
对于正整数m、n、2mn以及m²(n²)m，其中m和n满足m大于n的条件，以下组合可以构成直角三角形：m²，n²，2mn，以及m²(n²)m。
A、 5组, B、 4组, C、 3组, D、 2组
2007年，广东茂名地区实施了课程改革，其中涉及一个圆柱形饮料罐的几何问题。该罐底面半径为5，高度为12。罐体上底面中心有一个小圆孔。在此问题中，需要计算一条直达底部的直吸管在罐内部分的长度，同时忽略罐壁厚度和小圆孔的尺寸。
12
A( B)2 13≤ 12 15≤
C( D) 12≤ 5 13≤
在2007年江苏连云港的课程改革中，如图所示，该直线上有三个正方形。假设这三个正方形的面积分别为a、b、c，其中a和c的面积分别是5和11，那么第三个正方形的面积是多少呢？
A( 4 B) 6 C( 16 D) 55a b c l
三、解答题,
甲乙二人同起于一点，甲沿北方向以每秒六米的速度前行，而乙则向西方以每秒八米的速度奔跑。经过一分钟后，甲乙之间的距离究竟有多长？
北D
如图所示，一个棱长为3厘米的正方体表面分布着若干线段，这些线段将正方体的每个面都划分成了若干个边长为1厘米的小正方形。假设一只蚂蚁每秒钟能爬行2厘米，那么这只蚂蚁若要从正方体下底面的一点出发，沿着表面爬行至右侧面的另一点，最少需要花费多少分钟？
【试题答案】
1、 13 2、 4、 4 3、 54
4、 13 5、 6、 1505
7、 13 8、A 9、 B
10、A 11、 C 12、 600m
13、解,如图所示,分两种情况,
将正方体的正面和右侧面分别展开，使得这两面处于同一平面之中，那么从点B到点A的最短路径便是连接这两点的线段。
如图(a)所示, ,根据勾股定理,cm 3cmO BO ,
不得对专有名词进行修改，且不得插入英文单词，仅需提供改写后的句子，无需复述原句，无需换行，无需任何解释。语言风格需保持与原文一致，并删除最前面的序号。将长句拆分为若干短句，以逗号分隔，确保不遗漏句子末尾的标点符号。例如，将“得 2 2 2 2 2 2 3 5B AO BO”改写为“获得2分、2分、2分、2分、2分、2分、3分、5B等级，以及AO和BO的评定”。
5cm(B )
将正方体的正面以及顶面和底面展开，确保点A和点B处于同一个平面之中。
则 到 的最短路径为线段 B AB
如图(b)所示, ,cm 5cmO BO ,
依据勾股定理，我们可以得出以下结论：\(AB^2 + BO^2 = AO^2\)，\(BC^2 + CO^2 = BO^2\)，\(AC^2 = BC^2 + CO^2\)，\(AO^2 = 29^2\)，\(BO^2 = 25^2\)，\(AB = 5B\)，\(AO = 2BO\)，\(BO = 5\)。
比较上述两种情况(a)中 为最短路径,B
(s), 2 2.5
答,它至少要爬2.5s,
