斐波纳契数列
概述内容
斐波那契数列，广为人知的数学序列开yun体育app入口登录，在小说《达芬奇密码》中，卢浮宫的馆长不幸遇害，尸体被发现在地上，他赤身裸体，模仿达·芬奇的名作《维特鲁威人》的姿势开元ky888棋牌官方版，并留下了一系列令人费解的密码。这些密码正是斐波那契数列。该数列的前几项依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等等，其显著特征在于每一项数值均为前两项数值之和。自第三项开始，每一项与其紧随其后的项之间的比值均趋近于0.618，这一比例正是所谓的“黄金分割”。斐波那契数列亦被称作“兔子数列”或“黄金分割数列”。这个看似简单的数列，却频繁地出现在人们的视野中。蜻蜓的翅膀、蜂巢的结构、菠萝表面的突起，都遵循着这个数列的排列。众多花卉的花瓣数量，诸如玫瑰、菊花、向日葵等，也呈现出斐波那契数列的规律。
斐波纳契和斐波纳契数列
中世纪西欧经济步入繁荣时期，前往东方进行贸易的西方商人日益增多，斐波纳契便是这些商人中的一员。斐波纳契，这个名字源于12世纪末至13世纪上半叶生活在比萨的莱奥纳多，他被称为斐波纳契，实际上是对其父亲Guilielmo，别称Bonacci的尊称，因为“Fibonacci”意味着Bonacci的儿子。他率先对印度的阿拉伯数学理论进行了深入研究。他的父亲受雇于比萨的商业团队，担任外交领事，被派往现今的阿尔及利亚地区，这使得莱昂纳多有机会在一位阿拉伯教师的指导下学习数学。此外，他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里以及普罗旺斯等地继续他的数学研究。
斐波纳契
斐波纳契在其著作《算法之书》中，于1202年首次阐述并在1228年进行了修订，提出了一个广为人知的兔子繁殖问题。该问题的主要内容可以概括为：若有一对刚出生的小兔子，它们将在第二年成熟，并从第三年开始每年繁殖一对新兔子；而这些新兔子同样会在第二年成熟，随后从第三年起每年也各自繁殖一对兔子；如此循环往复，假设每胎都生下一对雌雄兔子，且这些兔子均未生病或死亡，那么每年存活的兔子对数如下：
u(1) 等于 1，u(2) 等于 1，u(3) 等于 2，u(4) 等于 3，u(5) 等于 5，u(6) 等于 8，以此类推。
称为斐波纳契数列。设u(0) =0，则u(k)满足递推关系
在序列中，第k+2项等于第k项与第k+1项之和，其中k的取值范围为0,1,2，以此类推。
以及初始条件：u(0) =0，u(1) = 1。
兔子和斐波纳契数列
19世纪，法国数学家比内（生于1786年，逝于1856年）率先阐述了斐波纳契数列的通项计算方法，因此这一公式被冠以他的名字，称为比内公式。
比内公式自然界中的斐波纳契数列
不仅兔子的繁殖过程遵循斐波那契数列的规则，自然界中树木的枝杈分布、花卉的花瓣数量同样遵循这一数列的规律。有位学者仔细地数过一朵重瓣芍药的花瓣，最终得出的数字是233瓣，而这个数字恰好是斐波那契数列中的一个数。一位中学生物教师采集了一枚松果，他将松果的鳞片剥开，仔细计数，最终得到的鳞片数量为144片，这个数字恰好位于斐波那契数列之中。在植物学家对植物的“叶序”——即枝、叶及种子在植株上的排列与分布——进行研究时，他们发现斐波那契数列同样扮演着至关重要的角色。就像向日葵的花盘，其中心向外延伸的对数螺旋线将花盘划分成多个含有花籽的菱形区域，观察这些顺时针方向延伸的螺旋线数量与逆时针方向的数量比开元棋官方正版下载，通常为13比21、21比34、34比55或55比144。在这些比值中，无论是分子还是分母，都来自于斐波那契数列中相邻的两个数。显而易见，当该比值的分子与分母数值增加，意味着种子数量增多，同时向日葵的品种质量相对提升。这其中的道理相当简单——这种布局确保了植物生长的疏密适中，能最大限度地吸收阳光和空气。因此，在亿万年的进化历程中，众多植物逐渐演化成了现在的形态。尽管如此，由于气候或病虫害等因素的影响，现实中的植物往往无法达到完美的斐波那契螺旋状态。
向日葵的生长
雏菊、翠菊等菊科植物的花盘同样具备前述特性，然而由于这些植物的花盘体积较小，验证起来较为困难。尽管如此，植物学家们仍成功测量出延命菊的头状花序上两族反向螺旋线的比例，为21比34。而在杉属植物的球果中，这一比例则呈现为5比8或8比13。我们细看莴笋叶片，洋葱层层叠叠的纹理，松果那独特的圆锥形螺旋纹路（其中，两条螺旋线的数量比是5比8），还有菠萝表面那些瘤状物的分布（其比例是8比13），在这些细节中，我们都能发现那些相似的结构排列。
“鲁德维格定律”斐波纳契螺旋线
斐波纳契弧线亦称作“黄金螺线”，它是以两个端点为基准绘制而成的趋势线，比如从最低点延伸至最高点的两个特定点。这三条弧线均以第二个点为圆心绘制，并在斐波纳契水平线上，即38.2%、50%和61.8%的位置与趋势线相交。斐波纳契弧线代表了潜在的支持位和阻力位的水平价格。在图表中，斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线通常会一同绘制。支持位与阻力位可由这些线条的交汇处确定。需留意的是，弧线交合处以及价格走势曲线会随图表数值的不同而有所变动，这是因为弧线仅是圆周的一个组成部分，而其形成原理总体上保持一致。
黄金螺线
在摄影中运用黄金螺线，可以显著提升拍摄出高质量照片的可能性。与三分法这种静止的构图方法不同，黄金螺线为我们的视觉捕捉提供了动态的线条指引。它始终在你的视野两侧旋转，从上至下贯穿画面，从而让你的照片构图更加多样化。
斐波纳契数列在我们的日常生活中无处不在，尽管我们已经发现了其中不少，但或许还有更多隐藏的宝藏等待我们去挖掘。与斐波纳契数列紧密相连的黄金比例被广泛应用于各个领域，然而，其奥秘仍需我们不断深入探索。
邱森的著作《线性代数探究性课题精编》由武汉大学出版社于2011年出版；Keith Ball的作品《Strange Curves, Counting Rabbits, and other Mathematical Explorations》由上海科技教育出版社引进出版，首版于2011年12月5日；郭德才的《不可思议的斐波纳契数列》发表于《发明与创新:综合版》2007年第11期，页码为24至25；方陵生的文章《大自然中的斐波纳契数列之奇》刊载于《科学与文化》2004年第9期，文章编号为19至20；罗文军的论文《数列中的一颗璀璨的明珠——斐波那契数列》于2017年第6期发表。
