浅谈概率统计在生活中的应用.pdf

随着时代进步，科学发展，数学在我们生活中的应用愈发广泛，生活中处处都有数学的踪迹 。请提供需要改写的句子，以便我按照要求进行操作。概率统计学在我们的生活中应用颇为广泛，它是数学非常重要的一部分，在生活里发挥着越来越广泛的用途，研究其在生活中的应用能给我们的生活和工作带来更多便利，还能给我们实际应用概率学提供更全面科学的依据，所以研究概率统计的实际应用显得尤为重要。本文先回忆了概率统计的相关概念，简述了概率统计的发展过程，然后通过对实际生活中部分现象的分析，阐述了概率统计在生活中的广泛应用，进一步解释了两者之间的密切关系，让我们体会到数学知识给生活带来的种种好处。概率统计是一门和生活联系紧密的学科，它产生于十七世纪，原本是由保险事业的发展而产生的，然而来自赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累，他向当时的数学家帕斯卡提出一个问题，这个问题让他苦恼了很久。问题是：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了a局（a小于m），另一个人赢了b局（b小于m）的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？1642年，后者发明了世界上第一台机械加法计算机。三年后的1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题。结果他写成了《论机会游戏的计算》一书。这就是最早的概率论著作。近几十年来，科技蓬勃发展开yun体育app入口登录，概率论在国民经济、工农业生产以及各学科领域得到大量应用，许多新兴的应用数学，像信息论、对策论、排队论、控制论等，都以概率统计作为基础 。我们在生活中会遇到许多活动，这些活动与概率统计紧密相连，例如我们日常购买彩票，企业所进行的评估活动，某些产品的使用寿命等，都涉及到概率问题。但是，我们总是期望事情朝着自己所期望的方向发展，然而事情并非每每都与我们的愿望相符，那么我们怎样才能从这些看似无规律的事件中探寻到它们的发展轨迹，从而能更好地做出正确的判断与选择呢？这就需要我们统计和分析以往发生的历史数据，找出这些事件的发生概率和规律，由此得到即将发生的事件各种结果可能性的大小，从而帮助我们做出有利于自己的判断和选择。概率统计在生活中的作用越来越大，所以我们研究概率统计在生活中的应用越发显得迫切和重要了。概率论是一门随机数学分支，数理统计也是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。本文将从概率统计的相关概念开始，讲述概率的历史发展和现状，还将讲述数理统计的历史发展和现状，并且结合生活中的实际问题，结合数学中的实际问题，简单谈论概率统计的应用。同时，探讨实际问题，分析解决问题最实际有效的办法，经过严谨的梳理和论证，总结归纳出概率统计在生活中的应用规律和技巧，为日后生活和工作中遇到的相关问题提供借鉴和解决办法。相关概念研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计。简单地说，概率就是一件事发生可能性的大小。概率是随机事件发生可能性的数量指标。在独立随机事件里，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近，那么就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件，其概率值必定介于0和1之间。概率所研究的内容通常涵盖随机事件的概率、统计独立性以及更深层次的规律性。存在一类随机事件，它具备两个特点，其一，仅有有限个可能的结果，其二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象被称作“古典概型”。在客观世界里，存在着大量随机现象，随机现象所产生的结果构成了随机事件。要是用变量去描述随机现象的各个结果，这就叫做随机变量。通常依据变量的取值情况，将其分成离散型随机变量和非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单且应用广泛的是二项式分布。实践证明，理论也证明，存在一种特殊且常用的分布，其分布曲线是有规律的，这种分布就是正态分布。正态分布曲线由这个随机变量的一些表征数决定，其中最重要的是平均值和差异度。平均值又叫数学期望，差异度即标准方差。统计是一门和数据打交道的学问，它也是一种描述数据特征、探索数据内在规律的方法，伴随信息时代来临，统计与实际生活紧密相连，在科学研究、生产管理以及日常生活里发挥着日益重要的作用，统计学源于应用，在应用进程中发展壮大。工作中到处都有数据，生活里同样到处存在数据，比如一个班级的考试成绩，一个班级的名次，学校的升学情况，学校的就业情况，工厂生产产品的合格率，人口的出生率，人口的增长情况等，各个部门都离不开统计，学术研究能展现它的生命力和重要作用，实际工作能展现它的生命力和重要作用，日常生活也能展现它的生命力和重要作用。从4名男生和2名女生中任选3名参加演讲比赛，求所选3人都是男生的概率，求所选3人恰有一名是女生的概率，求所选3人中至少有一名是女生的概率。将“所选3人都是男生”记为事件A，那么事件A包含4个基本事件开yun体育官网入口登录app，所以P(A)=4÷20 = 1/5；将“所选3人恰有一名是女生”记为事件B，事件B包含12个基本事件，因此P(B)=12÷20 = 3/5；将“所选3人中至少有一名是女生”记为事件C，显然事件C与事件A是对立事件，所以P(C)=1 - P(A)=1 - 1/5 = 4/5 3.2古典概型在生活中的应用例2 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同 ，则每种汤圆都至少取到1个的概率是（）8254860A.B.C.D.91919191解析选C。在10件产品当中，有3件是一等品，4件是二等品，3件是三等品，从这10件产品里任取3件，求：（1）取出的3件产品中，一等品件数X的分布列以及数学期望；（2）取出的3件产品中，一等品件数多于二等品件数的概率。解析，从10件产品中任取3件，其结果数为C3。从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品，其结果数为k 3 k 。那么从这10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P( X = k) = 3 7 k 3 kC C ，k = 0,1,2,3 。 C3 7 10所以随机变量X有其分布列，其中X取值为0、1、2、3，对应的概率分别为7217/40、124/40、40/120、7217/19，X的数学期望EX为0、1、2、3 。设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3 。由于事件A、A、A彼此互斥，并且AA、AA，同时1、2、3、1、2、C、C、3、7、1、3、3，P(A)，P(A)、P(X = 2)，P(A)、P(X = 3)，1、3、2、3、C、10、40、40、120，所以取出的3件产品中一等品多于二等品件数的概率为3、7、1、3、1，P(A)、P(A)、P(A)、P(A)，1、2、3、4、0、40、120、120，3.3二项式分布在实际问题中的应用例4，某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若是连续正确回答出两个问题，便停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率是0.8，每个问题的答案结果相互独立，该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，其概率等于_______。答案0.128解析记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai，其中i = 1,2,3,4,5，且P(Ai)=0.8 。选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，那么该选手回答第二个问题必定回答错，第三个、第四个问题必定回答对，所以所求事件的概率P，P等于P(A₂A₃A₄)，P(A₂A₃A₄)等于P(A₂)乘以P(A₃)乘以P(A₄)，即(1 - 0.8)×0.8×0.8 = 0.128。例5，根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。求该地一位车主至少购买甲种保险线或者乙种保险线其中一种的概率，X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。解析记，A表示事件：有一位车主在该地购买甲种保险；B表示事件：有一位车主在该地购买乙种保险，却不购买甲种保险；C表示事件：有一位车主在该地至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：有一位车主在该地甲、乙两种保险都不购买。P(A)等于0.5，P(B)等于0.3，C等于A加B，P(C)等于P(A)加P(B)等于0.8，2D属于C，P(D)小于等于P(C)等于0.8，X服从二项分布，即X服从参数为100和0.2的二项分布，所以期望EX等于100乘以0.2等于20，正态分布在实际问题中有应用，正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布，高斯在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以正态分布又称为高斯分布。中心极限定理表明，一个变量若由大量微小且独立的随机因素叠加而成，那么这个变量必定是正态变量。所以在生活中，很多情况可用正态分布来说明，像测量误差、人的身高、产品重量、年降雨量等，都能用正态分布来描述。正态分布能够助力应聘者剖析形势，进而对应聘状况作出正确的估量，某企业预计经由招聘考试招录300名员工，其中正式工有280人，临时工有20人，已知报考人数为1657人，考试满分是400分，考试结束后得知，报名者的成绩2x近似服从正态分布N（166，δ），360分以上的高分考生有31人，某考生A取得256分，问：他是否能够被录取？能否被录取为正式员工？这类问题求解大致分为三步 ，根据问题中所给高于360分的有312人的信息 ，利用分数服从正态分布 ，因遇到正态分布一般联想到标准正态分布 ，进而求出δ ，根据招聘300名员工的信息 ，再次利用分数服从正态分布求出最低分数线 ，把A的成绩与最低分数线比较 ，以此确定是否被录用 ，若根据比较结果确定A被录用 ，则求出280人的分数与A的成绩比较 ，或者依据A的成绩求出高于A成绩的人数 ，再与280个正式员工的名额限度比较 ，从而判定A是否被录取为正式员工 。预测最低分数线，设最低分数线为X1，考生A的成绩为X。对于一次成功2的考试，X服从正态分布N（166，δ）。因为高于360分的考生频率是31/1657，所以P{X﹥360}={(X - 360)/δ﹥(360 - 166)/δ}=1 - Φ(31/1657)≈31/1657。由此可得Φ（194/δ）≈1 - 31/1657≈0.9812。通过查表可知194/δ≈2.08，进而解得δ≈93，此时X～N（166，93）。由于最低分数线的确定要使录取考生的频率等于300/1657，即P{X﹥X1}=P{（X - 166）/93﹥（X1 - 166）/93}≈300/1657，所以Φ{（X1 - 166）/93}≈1 - 300/1657≈0.819。查表得（X1 - 166）/93≈0.91，解得X1≈0.251，即最低分数线是251分。2 ）预测 A 的考试名次，这样就可以确定他是否能被录取。在X - 256分时，通过查表能够知道，P{X ﹥256}=1 - Φ{ （256 - 166 ）/93}，1 - Φ{ （256 - 166 ）/93}=1 - Φ （0.9677 ），1 - Φ （0.9677 ）=1 - 0.8315，1 - 0.8315 = 0.1685。这意味着，考试成绩高于256分的频率是0.1685，也就是说成绩高于考生A的人数大概占总考生的16.8%。所以，名次排在考生A之前的人数约有：1657×16.85%≈280。即考生A大约排在281名，也就是A只能作为一名临时工被录用。下面我们再来看概率统计中正态分布在数学研究里的实例：例7，已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，并且P(2＜X＜4)=0.6862，那么P(X＞4)=( )A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586D.0.1585解析，选B。由正态曲线性质可知，其图像关于直线x = 3对称，P(X＞4)=0.5 - 1/2P(2＜X＜4)=0.5 - 0.1587 = 0.1587。例8，若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(X＜μ)=________。解析22X N,~由正态分布图像可知，对称轴为直线x1P X2 3.5 ，数学期望在实际问题中有应用，“期望”在我们日常生活中常指有根据的希望，而在概率论中，数学期望源于历史上一个著名的分赌本问题。17世纪时，有个赌徒向法国著名数学家帕斯卡发起挑战，给他出了一道题，甲乙两人进行赌博，两人获胜几率相等，比赛规则是先胜3局者为赢家，赢家可获100法郎奖励，比赛进行到第三局，甲胜了2局，乙胜了1局，此时因某些原因比赛终止，那么该如何分配这100法郎才算公平？用概率论的知识来看，甲的获胜概率是21/2加上（1/2）开元ky888棋牌官网版，结果为3/4 ，或者分析得出乙胜的概率是（1/2）减去1/4.由此引出甲的期望所得值是100乘以3/4再减去75法郎，乙的期望所得值是25法郎。这个故事里出现了“期望”一词，数学期望由此产生。数学期望简称期望，也叫均值。它是概率论里一项关键的数字特征，在实际问题里有着重要用途，接下来我们结合两个实际问题尝试探究数学期望在生活中的应用。某公司经销一种商品，这种商品的市场需求量X服从均匀分布U(300，500)，每售出1吨该原料，公司能获得15000元利润，若积压1吨该原料，公司会损失5000元，问公司应组织多少货源，才能使期望的利润最大？解：设公司组织该货源\(m\)吨，显然\(300\leq m\leq500\)。记\(y\)为在\(m\)吨货源的条件下的利润，利润是需求量的函数，即\(y = f(x)\)。由题设条件可知：当\(x\gt m\)时，这\(m\)吨货源全部售出，共获利\(1.5m\)；当\(x\lt m\)时，售出\(x\)吨（共获利\(1.5x\)），且还有\(m - x\)吨积压（获利\(-0.5(m - x)\)），所以共获利\(1.5x - 0.5(m - x)\)。由此可得\(y = f(x)=\begin{cases}1.5m, & x\geq m \\ 2x - 0.5m, & x\lt m\end{cases}\)。上述计算表明\(E(y)\)是\(m\)的二次函数，用通常求极值得方法可以求得，当\(m = 450\)吨时，能够使得期望的利润达到最大。某校想要了解高三男生的身体状况，于是检测了全部480名高三男生的体重，体重的单位是kg，所得数据都在某个区间中，其频率分布直方图如图所示。若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1比2比3，那么体重小于60kg的高三男生人数是多少呢。解析得出是180。依题意可知，后两个小组的频率之和等于0.0125加上0.0375的和乘以5，结果是0.25。因此前三个小组的频率之和等于1减去0.25，等于0.75。前两个小组的频率之和等于某个值。所以体重小于60kg的高三男生人数为480乘以这个值，结果是180 。甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，甲每次命中环数分别为4、7、10、9、5、6、8、6、8、8，乙每次命中环数分别为7、8、6、8、6、7、8、7、5、9，问谁10次射靶的情况较稳定？本题需要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，并且样本数据不大的时候，可以使用简化公式来计算方差。X甲等于4加7加一直加到8的和除以10，结果是7.1，X乙等于7加8加一直加到9的和除以10，结果是7.1，2S甲等于4的平方加7的平方加一直加到8的平方减去10乘以7.1的平方后再除以10，结果是3.09，2S乙等于7的平方加8的平方加一直加到9的平方减去10乘以7.1的平方后再除以10，结果是1.29，因为S甲大于S乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定。本文列举了概率统计在实际生活中的一些简单常见的应用，在日常生活中，概率统计的影子随处可见。在日益发展的信息社会中，即使是一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力，还得具备应用数学思想去观察和分析工作、生活的能力，甚至是从事经济、政治活动的能力。科学技术不断发展，概率论与数理统计在众多学科，涵盖自然科学与社会科学，以及生产实际部门中，得到了愈发广泛的应用。借助概率计算，我们能够知晓游戏的胜率、彩票及摸奖的中奖率等。通过统计，我们可以了解一些指数的变化趋势等。概率统计的影响范围，可以说已深入到生活的各个领域 。