数学建模在生活实际中的应用

本论文的类别编号为中图分类号G46，其文献标识码为A，而文章的编号则是1673-8209(2010)08-0-03。

职业教育阶段，学生的培养目标要求他们在掌握书本知识的基础上，还需将所学数学知识应用于解决实际生活问题。因此，在数学教学中，引导学生进行数学建模，使其与生活实践相结合，应当成为教学活动中的一个核心指导思想。

1 问题提出

1.1 问题

商场管理者需兼顾商品的销售收入和销量。此外，他们还需思考如何在短时间内实现利润最大化。这一议题与商品定价策略密切相关。若定价偏低，销量虽高但利润微薄；反之，定价过高，利润虽丰但销量降低。以下将探讨在销售总收入受限的前提下，如何确定商品的最高售价。

1.2 实例分析

该商场所售商品的单价为25元，年销量达到3万件。若商品价格每增加1元，销量将相应减少0.1万件。为确保年销售收入不低于75万元，需计算商品提价的上限。

解:设最高提价为x元。提价后的商品单价为(25x)元

提价后的销售量为(30000-1000x)件

则(25+x)(30000-1000x)≥750000

(25+x)(30-x)≥750

0≤x≤5

即提价最高不能超过5元。

2 数学建模的概念

数学建模，实质上是构建数学模型，具体而言，它涉及对某一领域或部门的具体问题进行抽象化、简化处理，明确界定变量和参数，并依据一定的“规律”确立变量与参数之间的清晰联系（即数学模型）。随后，通过求解这一模型来解决问题，并对所得结果进行阐释和核实。若结果准确无误，则可将其应用于实践；若不准确，则需要调整问题的假设，反复迭代，直至找到正确答案。

3 数学建模的一般步骤

此处所提及的建模流程仅是基本的指导原则，在具体实施时需根据个别问题进行细致剖析，并采取灵活的策略。构建数学模型通常包括以下步骤：

(1)模型准备:

掌握实际问题的具体情况，同时熟悉相关背景知识，确立建模的目标，全面收集研究对象的相关信息，包括数据与资料等，清晰把握对象的特性，剖析原型的构造，有时还需建模者进行深入而细致的调研，有针对性地搜集模型所需的数据。

(2)模型假设:

对数据进行深入分析，对资料进行细致处理，以识别现实情况中的核心要素，剔除非关键部分，对问题进行必要的简化处理，运用精确的语言提炼出必要的假设，这一步骤至关重要。

(3)模型建立:

依据关键要素及设定的前提，运用恰当的数学手段来阐述变量与要素间的相互联系，进而构建相应的数学模型，例如方程、不等式、图表、函数、逻辑表达式、数值计算公式等。在构建模型的过程中开yun体育官网入口登录app，所选取的数学工具需结合具体问题的特性、模型构建的目标与需求，以及构建者的数学专长来决定。由此，所采纳的数学方法各异，所形成的模型也可能有所区别。然而，我们必须坚持一个准则，那就是尽可能运用基础的数学手段，以便让该模型拥有更广泛的适用范围。

(4)模型求解:

根据现有数据、观测资料或对实际问题的深入理解，对构建模型中的参数进行推算。运用数学方法对模型进行求解，这涉及求解方程、绘制图表、进行逻辑分析、证明定理、探讨性质等多个步骤，旨在得出数学上的结论。建模者需熟练掌握必要的数学理论，特别是计算方法和计算机应用技能。

(5)模型分析:

对模型求解所得的结论进行数学层面的剖析，偶尔需依据问题的特性，探究各个变量间的相互依赖或特性，偶尔则需依据既得结果，提供数学公式的预测，以及最优的决策和控制方案。

(6)模型检验:

将模型分析所得的结论应用于实际情境，借助具体事实和数据来评估模型的有效性和适用性，从而确认模型的准确性。通常情况下，一个成功的模型不仅能对已知现象作出解释，还能对未来未知的现象进行预测。

(7)模型应用:

若检验结果与实际情况存在差异，或是部分不符，且在求解过程中未发现错误，通常问题源于模型假设，这时需对假设进行修改或补充。反之，若检验结果与实际相符，并且达到了问题所需的精度标准，则可认定模型有效，进而可投入使用。

我们用图1示来解释一下它的基本过程:

4 数学模型介绍

4.1 建立竖式模型

以社会和经济效益为考量，该地区投入资金用于生态建设，并依托此推动旅游业发展。据规划，本年度投资额为800万元，后续每年投资额将逐年递减。目前预计本年度旅游业收入约为400万元，鉴于生态建设对旅游业的正面影响，预计未来旅游收入将逐年递增。那么，请问需要多少年，旅游业的总收入才能超越总投入？

在n年的时间段内，以本年度作为起始年份，累计的总投资金额达到an万元，而同期旅游业的总收入则达到bn万元。

第一年投入800万元,

第二年投入万元……,

第n年投入为万元,所以n年内的总收入为:

第一年旅游收入为400万元,

第二年旅游收入为万元,……,

第n年旅游收入为万元,所以n年内的总收入为:

,化简得:

>0

解得5.

故至少经过5年,旅游业总收入才能超过总投入。

4.2 建立方程(方程组)模型

永强加工厂接到了一批订单，为了按时完成订单，工厂需要440根长度为a米的材料和480根长度为b米的材料。目前可供选择的原材料有三种：使用一根甲种材料可以截取4根长度为a米的材料和8根长度为b米的材料，其成本为60元；使用一根乙种材料可以截取6根长度为a米的材料和2根长度为b米的材料，成本为50元；使用一根丙种材料可以截取4根长度为a米的材料和4根长度为b米的材料，成本为40元。问怎样采购,可使材料成本最低?

分析：若直接设定材料成本的最小值为x元，那么基于现有条件，我们难以直接列出方程。因此，我们可以考虑引入辅助变量；假设甲种材料取x根，乙种材料取y根，丙种材料取z根，进而可以得到相应的结论。

若设定总成本为p元，那么我们的目标是计算p的值，使其等于60x加上50y再加上40z，并找出这个表达式的最小可能值。

解：若选取甲类材料x根，乙类材料y根，以及丙类材料z根，那么这些数量x、y、z需满足以下条件。

设总成本为p元,则求p的最小值,由①,②得

由于x和y均为正数，因此可以得出0小于等于z并且z小于等于100；再考虑到x和y均为非负整数，所以我们可以设定z等于5乘以t，进而得出0小于等于t并且t小于等于20。

因此，p的值等于60乘以x加上50乘以y再加上40乘以z，即p=60x+50y+40z。这个表达式可以进一步简化为60乘以（50减去2t）加上50乘以（40减去2t），也就是p=60(50-2t)+50(40-2t)。最终，我们得到p的表达式为5000减去20t。

显而易见，在t等于20的时刻，成本达到了最低点；此时，若x值为10，y值为0，z值为100，材料成本将降至最低，仅为4600元。

4.3 建立不等式模型

南泉汽车租赁公司总共有30辆出租车辆，其中甲型车占20辆，乙型车则有10辆。这30辆车将被分配给A、B两地的旅游公司使用，具体是20辆车被派往A地，另外10辆车则前往B地。两地旅游公司与汽车租赁公司已经就每日租金达成协议，具体价格详见表1。

若派遣至A地的乙型汽车数量为x辆，那么租赁公司从这30辆汽车中每天所能获得的租金总额为y元，需要推导出y与x之间的函数关系式，同时明确自变量x的合理取值区间。

为了确保租赁公司这30辆汽车在一天内所收租金总额达到或超过26800元，需要计算并列举出所有可能的分配方式，具体包括有多少种不同的分配方案，以及每种方案的具体内容。

解：首先，计算表达式y的值，即y等于1000乘以（20减去x）加上900x，再加上800x，最后加上600乘以（10减去x），得到的结果是26000加上100x。这个计算过程适用于x的取值范围在0到10之间。

(2)由题意得:26000+100x≥26800,

鉴于x的取值范围在0到10之间，并且x必须为整数，因此x可以取8、9或10，这样一来，该方案便有三种不同的可能性。

A地分别派遣了12辆甲型车和8辆乙型车，而B地则派遣了8辆甲型车及2辆乙型车。

方案二：A地分别派遣了11辆甲型车和9辆乙型车；而B地则派出了9辆甲型车以及1辆乙型车。

方案三：A地将派出10辆甲型车和10辆乙型车；同时，B地也将安排10辆甲型车。

学校食堂每隔一段时间会从粮店采购大米，每吨的价格是1500元，同时，每次购买大米还需额外支付100元的运输费用。食堂平均每天消耗1吨大米，而储存大米的成本是每天每吨2元。假设食堂总是在大米用完的那天进行采购。该食堂每隔多少日采购大米，才能确保每日的总费用达到最低水平？（1）粮店提供的优惠方案是：若单次购买量达到20吨以上，大米的价格可以享受九五折的优惠（即按原价的95%计算），食堂是否应该考虑接受这一优惠？（2）请阐述您的理由。

假设每隔n日进行一次大米的采购，每次的购买数量为n吨，据此计算开元ky888棋牌官方版，库存成本将包括：

n+(n-1)+…+2+1

=n(n+1),

记平均每天的总费用为y1,则

仅当n值为10时，等式才成立，因此建议每隔10天购置一次大米，这样能够确保日均总支出达到最低。

显而易见，若采纳优惠条款，顾客需保证至少每20日进行一次订单，换言之，当购买周期为m日时，必须满足m不小于20，此时每日的总花费可记为y2，那么。

(m≥20)

因为

因此，该函数为增函数特性，所以当m等于20时，y2的最低点降至1451开元ky888棋牌官网版，此1451数值与4.4相关，进而用于构建相应的几何模型。

在某海滨城市周边海域正活跃着一股台风，监测数据显示，台风核心位置正处于城市O（如图所示）东南方向约300公里的海面上P点，且正以每小时20公里的速度向西北方向移动。台风的侵袭区域呈圆形，目前半径为60公里，且正以每小时10公里的速度持续扩大。请问经过多少小时，该城市将开始遭受台风的影响？

解：在时刻t，台风的中心位置用坐标p表示，同时台风所覆盖的区域半径用r(t)来标识。

,由题意当时,城市O受到台风侵袭。

而令,

所以

即:

所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭。

4.5 构建排列,组合模型

圆周上的两条直径将圆形表面划分为四个部分，正如图中所示；接下来，我们用四种不同的颜色来分别涂装这四个区域，请问相邻的区域采用不同颜色进行涂装的方法总共有多少种？

解:分三类:用四种颜色去涂有

用三种颜色去涂,则相对的两个区域涂同一颜色,

于是有

用两种颜色去涂有。

所以共有24+48+12=84种。

4.6 构建函数模型

某商场销售一款电器，其年度采购数量固定为5000台，分批次进行采购。若单台电器售价为2400元，每次采购产生的相关费用（含运输等）为1600元。同时，确保在售罄后能够及时补充库存。此外，每台电器的年度库存管理费用率为10%。为了减少开支，如何确定每次采购的设备数量，以使得年度的采购成本和仓储管理费用总和达到最低？在这一情况下，年度的采购成本与仓储管理费用合计为多少？

解：若每次购入x台设备，根据前述分析可以得出，每年的总成本y（包括采购费用和库存管理费用）可表示为：

当且仅当即x=250时取等号,此时可取最小值60000。

每次采购数量达到250台，年度的总成本，包括采购费用和仓储管理费用，将达到最低，总计为60000元。

构建一个体积达8立方米、深度为2米的无顶长方形水池，若池底每平方米的建造费用为120元，池壁每平方米的造价为80元，那么该水池的最少成本是多少元？

对设池的长度进行计算，其值为xm。根据已知信息，池底的面积是4平方米。据此推算，池的宽度应为4米。因此，水池的总造价y元可以计算得出。

解:将函数转化为方程,利用判别式来解决。

在求得最小值时，解得造价为1760元；在此条件下，x的值为2；因此，水池的最少成本为1760元。

4.7 构建实际生活的数学模型

在一片汪洋之中，坐落着小岛A，其周边10海里范围内布满了暗礁。目前，一艘货轮正从西向东航行。起初，它位于A岛南偏西方向55度的B点，随后向东航行了20海里，抵达了A岛南偏西方向25度的C点。那么，在货轮继续向东航行的过程中，是否存在着触礁的风险呢？

已知:由数学模型知

求AD的长

解:由数学模型得

由BD―CD=BC 又BC=20海里,

海里

∵20.79海里>10海里, ∴货轮没有触礁的危险.

众所周知，《乌鸦喝水》的故事讲述了一只口渴的乌鸦四处寻找水源。它发现了一个装有水的瓶子，但瓶中的水量有限，且瓶口狭小，乌鸦无法直接饮用。面对困境，乌鸦注意到瓶子旁边有许多小石子，于是灵机一动。它将小石子逐个投入瓶中，随着石子的增多，瓶内的水位逐渐上升，最终乌鸦得以解渴。问:这一只聪明的乌鸦,可是这只聪明的乌鸦真的能喝到水吗?

在构建数学模型时，我们可以假设投入的石块均为直径为r的等大小石球，总共有n个。这些石球紧密排列，且球心均位于同一直线上。同时，我们假设瓶子为方柱体形状，其内部空间被划分为n个边长为r的小正方体。据此，瓶子内的总空隙可视为每个石球外接正方体与石球体积之差的总和。根据上述假设，可以得出：每个小石球的体积是确定的，而其外接的小正方体的体积则是r的三次方，因此，瓶内所有空隙的总体积可以计算为。

瓶中所有间隙的累积面积恰好是瓶子总体积的48%，换言之，这些间隙的总和略小于瓶子容积的一半。因此，当瓶中水量未达到瓶身一半时，乌鸦便无法通过投掷石块的方式将水位提升至瓶口，从而饮用到水。值得注意的是，这一结论并不受石块是否为球形或瓶子是否为方柱形的影响。此外，日常所见之瓶，其身形多呈中下部宽大，而瓶口则相对狭窄，这样的设计无疑会降低水面上升的幅度，从而进一步提升了乌鸦取水的难度。因此，若瓶中存水量不足瓶身总体积的一半，乌鸦便无法成功饮用瓶中之水。

这些总结展示了数学建模在现实生活中的应用，通过运用数学建模技术，可以拓宽学生的思维视野，深化对学习过程的理解，激发学习热情，增强求知欲望和认知水平，从而更有效地实现职业教育的目标。数学建模拥有巨大的发展潜力，我们在建模过程中不应局限于形式，不应受到教条的限制。我们应当紧密关注现实生活，与教材内容紧密结合，对既有知识进行革新，重新解析与整合，拓宽其内涵，使其转变为立意新颖、情境独特、提问巧妙且富有时代感的课题。这样的做法对于提升学生思维的灵活度、敏捷度、深度、广度和创造力，具有极大的积极意义。