一文彻底讲透卷积的理解、公式推导以及计算！！
你有没有经常琢磨过：卷积到底是什么含义？为何众多学科都在应用卷积？卷积的公式为何呈现这般形式？究竟应该怎样进行卷积运算？这篇文章是作者在参考了大量视频和文章之后，对自己对卷积的理解所做的一次梳理和阐述。
一、卷积的定义
卷积是一种数学运算，用来生成新函数，涉及两个函数f和g，本质上是积分变换，表现函数f和g翻转后平移时的重叠部分，计算重叠区域内的函数值乘积与重叠长度的总和。
那个出自百度百科的解释，初读时令人费解，唯独明白了一点：卷积属于一种数学处理方式。
卷积本质上属于数学运算范畴，因此必然存在相应的计算方法。以信号与系统学科中的卷积表达式为例进行说明。
连续LTI系统下的卷积公式为：
离散LTI系统下的卷积公式为：
看到这里依然云里雾里的，接下来我们一步步解释。
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二、卷积公式的推导
2.1 什么是LTI系统？
LTI系统是线性时不变系统的简称。其中L代表linear，即线性，TI代表time invariant，即时不变。
如何理解LTI系统？
先说说线性系统的概念，这需要明白齐次性和叠加性是什么意思。
齐次性：
当信号x1(t)通过某个装置产生响应y1(t)时，若将输入调整为α倍的x1(t)，那么该装置的输出也会变为α倍的y1(t)。这种现象被称为该装置具备比例性。
叠加性：
当信号x1(t)通过该系统产生响应y1(t)，且信号x2(t)通过同一系统产生响应y2(t)时，信号x1(t)与x2(t)的叠加即x1(t)+x2(t)输入该系统，其产生的响应为y1(t)与y2(t)的叠加即y1(t)+y2(t)。这种特性被称为系统的叠加特性。
所以线性系统就是：一个系统满足齐次性和叠加性就叫线性系统。
2.什么是时不变系统？
当信号x(t)通过某个系统产生响应y(t)时，若将x(t)的时间轴整体平移t0单位，得到的新信号x(t−t0)，经过该系统后其输出变为y(t−t0)这种系统被称为时不变系统。
同时满足线性和时不变性的就叫线性时不变系统。
2.2 单位脉冲以及单位脉冲响应
连续时间单位脉冲信号：
信号在零点时取值为1，在其它时间点取值为0的信号即为单位脉冲信号，这种信号属于连续时间范畴
离散时间单位脉冲信号：
当信号在序列位置为零时取值为1，而在其它序列位置上取值为0，这种信号被称为离散时间单位脉冲信号，记作δ，若将此信号施加于某个系统，该系统所生成的输出响应即为单位脉冲响应h。
2.3 综合上面的知识，简单的做个计算题
一个输入x0通过线性时不变系统，其输出y0如上图第一行所示，现在需要确定输入x经过该线性时不变系统后的输出值是多少？
根据先前所述的线性时不变特性，输入信号经过线性运算、时间平移、信号翻转以及叠加处理，在输出端会呈现出对应的变化形态。因此，x这个信号能够分解为2x0与x0的组合，具体分解方式如图所示。
那么y也应当是2x0形成的结果，同时2y+x0形成的结果是y0，具体形态如图所示：
所以
概括来说，对于一种离散线性时不变系统，假如掌握了单位脉冲函数δ关联的单位脉冲响应h，那么所有输入x经过该线性时不变系统后产生的输出y都将明了
这道题目涉及到的是卷积运算，假如省略掉那些图示步骤，可以直接表述为：
2.4 列表法求卷积
还是上述这个题目：
按照列表法计算卷积：
首先要确定y的取值范围
y的左侧数值区间等于x的左侧数值区间减去h的左侧数值区间，即0减去1，结果为-1
y侧面的数值区间等于x侧面的数值区间加上h侧面的数值区间，数值区间为1，加起来是2
所以y的取值范围为 -1、0、1、2
采用列表法计算卷积时开yun体育官网入口登录app，必须明确0点的位置，接着按顺序绘制结果图形即可。
通过观察图像可以发现，采用列表方式计算卷积比逐个步骤绘制卷积图更为高效。本质上，列表法的运算过程是逐步绘图方法的简化形式。
2.5 卷积公式推导以及计算
此前已经阐述了卷积的含义，以及如何分步进行卷积运算，不过卷积本质上属于一种数学运算开yun体育app入口登录，并且存在卷积公式
这个公式是怎么得来的呢？怎样运用这个公式去求卷积？我们还是以刚才那个题目为例，来推演一下卷积的公式。
1.x表示为δ求和的形式：
以此类推，所有的x都能这样表示出来，就有：
因此，由LTI系统的性质可以得到：
因此初次接触这纷繁复杂的卷积算式便依据线性时不变系统的特性完成了推演，下面我们探讨如何借助卷积公式来计算卷积，首先需要对卷积公式进行转换处理：
根据前述公式，卷积是一个涉及翻转、位移、乘积和累积的运算。因此，卷积公式的计算过程包含以下环节：首先需要将其中一个函数进行颠倒，接着将其沿着某个方向移动，然后逐点计算两个函数的乘积，最后将所有乘积结果进行求和。
1.依然确定y的取值范围
y左边的取值范围=x左边的取值范围+h左边取值范围=0+(-1)= -1
y右边的取值范围=x右边的取值范围+h右边取值范围=1+1=2
所以y的取值范围为 -1、0、1、2
2.反转h
3.平移h
4.x与h相乘
5.再次平移h
6.x与h对应相乘，结果再相加
7.再次平移h
8.x与h对应相乘，结果再相加
9.再次平移h
10.x与h对应相乘
所以y={2，-1，3，2}
绘制图形如下：
2.6 matlab实现卷积运算
结果依然与其它计算一样。
三、卷积的理解
如今我们已清楚卷积公式的推导过程及计算方法。不过卷积究竟代表什么？通过公式算得的结果具体指代何方？查阅了若干相关帖文后，对卷积的阐释如下
当你被人用轻微力量击打时，那种不适感会在六十分钟内消退，尽管力度不同，但消失的时间都是一样的。假设最轻的击打在一小时内的不适程度由函数h(t)表示，而每秒记录的不适序列为h。如果用双倍最轻力度击打你，那么那种不适感就是2倍的h(t)。以f(n)倍最轻力度击打，相应的不适程度就是f(n)乘以h(t)。
，当旁人在一小时内从第一秒到第六十秒连续攻击你时，这意味着在零点到两小时之间你会感到痛苦，那么在这段时间里的任意一个时刻t，所承受的痛感强度Y该如何表述呢？每次出拳的痛感会累积起来，从零到n的f(n)h(t-n)全部加总，比如f(1)h(t－1)加上f(2)h(t-2)等等，当n非常小，比如只有0.00000001那么大的时候开yunapp体育官网入口下载手机版，就需要用积分符号来表示了。把n抽象成τ，这其实就是我们常说的f(t)和h(t)的卷积运算！
系统的反馈不仅取决于当下的信号注入，也受到先前一段时间信号注入的影响，因为可以看作是先前的信号经过某种演变（这种演变可能是逐渐减弱，也可能是其他形式）对当前系统反馈的作用，因此，在计算系统反馈时，需要将当前时刻信号注入的反馈以及先前一段时间信号注入反馈的“遗留”效应进行综合考量。
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