卷积的本质及物理意义（全面理解卷积）

卷积是为了响应函数而发明的，响应函数是狄拉克为处理某些即时发生的物理状况而创造的记号。古人讲过，与其阐述诸多抽象理论，不如用具体事例来阐释，冲量这一物理概念就很好地说明了响应函数。在某个时间段t内对物体施加力F，如果作用时间t极短，作用力F却很大，但只要F与t的积保持不变，即冲量恒定。在以t为横轴、F为纵轴的坐标系里，它看起来像一块面积恒定的长方形，底边被压缩得非常短，高度被拉伸得极其长，数学上甚至能将它挤压到无限高，尽管它变得无限窄、无限高，但面积依然保持不变（它并未消失！），为了证明它的存在，可以通过积分来验证，积分就是计算面积的过程！就这样，“卷积”这个数学概念被创造出来了。

卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。

2 意义

信号处理是把一种信号类型转换成另一种信号类型，多数时候是将时间表示换成频率表示，有时也包括复频域和拉普拉斯域，信号所含的功率等于其对应数学表达式的规模，信号与函数在能量层面上是等价的，有个重要的数学原理表明，无论信号经过何种变换，其能量总量保持恒定，这种性质在数学上称为保持规模性，信号处理里常用的各种转换方法，本质上都具备这种保持规模性，只要那个数学原理适用，就说明转换过程不会改变信号的总能量。

信号处理领域中卷积的产生方式如下，设想存在一个系统B，在时间点t，该系统的输入量为x(t)，输出量为y(t)，系统的特性由响应函数h(t)描述，理论上输出与输入的关联表达式应为Y(t)等于h(t)与x(t)的乘积。

实际情况表明，系统在某一时刻的反馈，并不仅仅取决于该时刻的运作状态，也受到此前运作状态的影响，尽管系统存在减弱效应，因此，在t1这个时间点上，系统的反馈应当是t时刻之前系统运作效果在各个时间点的累积，这便是卷积，用数学方法表达出来就是

，离散情况下就是级数了。

3 计算

卷积是一种数学运算，能够表达线性时不变系统的输入与输出之间的联系：系统的输出，可以通过输入信号以及一个反映系统特性的函数（即脉冲响应函数）进行卷积计算而获得。这种运算涉及从负无穷到正无穷的积分过程，通常用特定符号来表示这一积分范围。

1）一维卷积：

y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)

将函数x(k)以原点为中心进行对称变换，接着向右平移距离t，随后将变换后的函数与原函数相乘并计算定积分，由此便可得出在t位置的值。针对每一个t值，依次执行上述步骤，最终可获得完整的输出曲线。

2）二维卷积：

h函数的值等于f函数与g函数的乘积，f函数和g函数都以u和v为变量，g函数在计算时需要将u替换为x减u，将v替换为y减v

先将g(u,v)绕其中心点翻转180度，接着将其中心点向右移动x，向下移动y。再计算两个函数的乘积并进行积分，从而得到某个位置的最终结果。

4 幽默笑话——谈卷积的物理意义

有个七品县令，动辄用鞭子惩罚那些街头混混，并且有个规矩：假如不是重罪，只责罚一下，让他们回家，以此表现体恤百姓。

有个地痞，渴望成名却毫无门路，琢磨着：既然不能积德扬善，倒不如作恶扬名。怎样作恶扬名？制造话题啊！怎样制造话题？拉名人啊！他立刻联想到自己的长官——县太爷。

那无赖竟在众目睽睽之下，于县衙正门方便，其下场可想而知，随即被唤到大堂受了一顿责罚，而后昂首阔步返回，卧床休息了一整天，竟然毫发无伤！次日又故技重施，全然无视长官的宽厚与衙门的威严，到了第三天、第四天......每天都到县衙领受责罚，还兴高采烈，持续了一个月！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！

县太爷捂着鼻子，木然地注视着公案上的刑具，紧锁眉头思索着：为何三十下板子效果不佳呢？记得当年，本人科举高中之时，算术成绩可是满分，如今务必破解这个难题：

人（系统！）遭受惩罚（脉冲！）之后，会有怎样的反应（输出！）呢？

——费话，疼呗！

——我问的是：会有什么表现？

——看疼到啥程度。

这个家伙的体格如此孱弱，每天挨一板子毫无反应，连哼一声都做不到，你完全可以看见他那种得意忘形的样子；倘若一次挨上十板子，他或许会皱起眉头，咬紧牙关，强忍着不出声；要是挨到二十板子，他会疼得面孔扭曲，发出像猪叫似的哼哼声；当挨到三十板子时，他可能会像驴一样嚎叫，鼻涕眼泪一把地求你饶恕；挨到四十板子，他可能大小便失控，只能勉强发出一点声音；若挨到五十板子，他连哼一声的力气都没有了——已经死了！

县令摊开坐标图纸，把打板子的数量当作横坐标，将哼哼的响度作为纵坐标，画出了曲线，这条曲线显示出了关联性。

唉！那弯曲线真像一座险峻的山峰，让人看不懂，为何那个恶棍遭受了三十天重打，却始终不肯求饶呢？

这个惩罚者每次施暴的停顿太长了，间隔达到二十四小时，那个坏蛋感受到的折磨每天都会消散，不会累积，始终维持在同样的水平；如果将打板子的停顿时间缩短，比如调整到零点五秒，那么他的痛苦就会快速累积起来；当这个坏蛋遭受三十次击打的时候，痛苦已经达到了他能发出惨叫的顶点，这时候会取得最理想的惩罚成效，再继续施加打击，就无法体现出您的宽厚了。

——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？

人的反应特性与对特定刺激的承受能力相关。身体受到触碰后，不适感会随时间逐渐减轻，这种减轻过程并非瞬间完成。如果连续受到触碰，每次产生的不适感都不会完全消退，它们会累积起来，导致整体感受更为强烈。

承受的煎熬程度等于各个板子带来的折磨乘以减弱比例的总和

衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味

数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

人类的苦难涉及复杂的相互作用，这个过程相当无情。动物或自然现象是否也遵循同样的法则？

呵呵，县令大人终究心肠宽厚。其实除了人类，许多事物也按这个道理行事。仔细琢磨一下，铁丝为何单次弯折不会断，而反复弯折多次却会轻易断裂呢？

嗯，现在还搞不明白，本官得慢慢琢磨，不过有一件事很清楚，来人，把那个撒尿的混蛋抓过来，狠狠地打他四十下板子！

可以这样理解：T(τ)代表第τ块板子，H(t-τ)表示第τ块板子所引发的痛苦在t时刻的累积程度，所有板子造成的痛苦总和等于∫T(τ)H(t-τ)。

总体而言，卷积就是将输入序列与不同的系数相乘，然后将这些乘积加起来，最后得到的就是经过卷积运算后的输出序列。

4 卷积在具体学科中的应用

图像处理：

将一个样板与一张图样实施卷积，针对图样上的某个位置，使样板的原点与此位置对齐，接着样板上的各点与其在图样上对应的点相乘，然后把所有乘积加起来，由此得到该位置的卷积结果。对图样上的每一个位置都执行这样的操作。因为多数样板都具有对称性，因此无需对样板进行旋转。卷积是一种积分过程，旨在计算两条曲线重合部分的面积。可以看作加权求和，可以用来消除噪声、特征增强。

把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。

卷积属于一种线性操作，图像处理领域里常见的掩模运算即为卷积，这种技术被大量用于图像的过滤过程。

卷积在数据处理中用来平滑，卷积有平滑效应和展宽效应.

电路学：

卷积法的运作方式是利用线性恒定电路的特性，包括齐次性、叠加性、时不变性以及积分性等，通过电路的单位脉冲响应h(t)来获得系统产生的效果，系统的输入通常能够分解为脉冲函数与输入函数的连续运算，而卷积本身是高等数学里积分理论的一种体现，其中脉冲函数的强度取决于各个微小矩形块的面积总和。

信号处理：

卷积运算最关键的应用场景，体现在信号处理与线性系统或数字信号处理的卷积定理上。根据这个定理，时间域或空间域的卷积过程，能够转化为频率域中的相乘操作。这样，就可以借助快速傅里叶变换等高效算法，完成运算，降低计算成本。

1）卷积实质上是对信号进行滤波；

卷积是用激励函数的脉冲响应来体现其特性，接着通过系统的脉冲输出得到在零状态下的响应结果。

卷积本质上是一种累加运算。在处理线性且时间不变的系统时，其输入信号能够表示为众多不同幅度脉冲信号的叠加体（在时间范畴内体现为求和），相应地，系统的输出便是这些脉冲逐一施加于系统后所引发的响应的累积（或求和）。由此可见，卷积在物理层面上揭示了输入波形、系统脉冲响应以及最终输出结果三者之间的内在联系。

信号角度：卷积能够体现线性系统对输入信号的作用方式，系统的输出就是其脉冲响应与信号输入的合成结果开元ky888棋牌官网版，仅当系统满足叠加特性时，才会涉及脉冲响应的概念，因此卷积构成了系统对输入进行数学处理的必然手段，脉冲响应实质上就是该类问题的格林函数解法。施加外部激励作为驱动力,去寻求某个线性方程组的答案,由此获得的格林函数就是系统对冲击的反应。因此在线性体系中,系统对冲击的反应和卷积运算有着内在的关联。

数学上讲，卷积是针对两个函数的一种特定运算，也可以理解为体现两个序列或函数相互作用的计算方式。针对离散序列而言，这种运算相当于两个多项式的相乘。从物理角度分析，卷积代表冲激响应的线性组合，其中冲激响应被视为一个函数，而另一个函数则通过冲激信号进行正交分解。

实际情形里：卷积意指把某个信号转换到不同频段上，例如调制过程，这属于频率域的卷积运算。

物理：卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染。

卷积的作用类似锉刀，能够将那些不够平滑的函数或者算子变得平滑一些。

信号处理的目的是确定与信号集相匹配的集合，接着在另一个集合里研究信号，Fourier变换是其中一种方法，它确立了时域中每个信号函数和频域中每个频谱函数之间的精准映射，这种映射是元素与元素之间的关联。那么运算之间的关联是怎样的呢，在时间范畴内的叠加，与频率范畴内的叠加相呼应，这揭示了傅里叶变换的线性特性；那么时间范畴内的相乘，又该怎样对应呢，最终形成的那个算式，我们就称其为卷积，它对应着频率范畴内的卷积运算。

卷积本质上是一种相互覆盖的现象，其结果表现了两个卷积函数相互覆盖的程度。具体而言，若将一个具有特定频率范围的函数与另一个频率范围较广的函数进行卷积运算，实际上是对后者施行了频率筛选。只有那些与前者频率范围有显著重合的部分，才有可能在经过该滤波器后得以顺利通过。

5 卷积与多项式

信号处理领域里，有一个核心操作叫做卷积，刚接触卷积时，通常先从连续情况入手，比如两个函数f(x)和g(x)的卷积公式为∫f(u)g(x-u)du，虽然证明卷积的一些特性并不复杂，例如交换律和结合律，但卷积运算的起源，初学者往往不太清楚。

从零散的状态来理解卷积，可能更加明白，对于两个序列f和g，通常可以将其卷积表述为s等于所有对应位置乘积的总和。

卷积的一个典型例子,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算。

比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)一般计算顺序如下：

(x*x+3*x+2)(2*x+5)

等于 x乘以x加上3乘以x再加上2 乘以2乘以x, 再加上 x乘以x加上3乘以x再加上2 乘以5

等于二乘以x的三次方开yun体育官网入口登录app，加上六乘以x的平方，加上四乘以x，再加上五乘以x的平方，加上十五乘以x，最后加上十

然后合并同类项的系数,

2x*x*x

3*2+1*5x*x

2*2+3*5x

2*5

2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

事实上,根据线性代数的知识,多项式可以看作是一个向量空间,它的基可以选取为{1,x,x的平方,x的立方,...}这样,任一多项式都能和一个无穷维空间里的坐标向量相对应,举例来说,(x的平方加上3x再加上2)就对应着(1 3 2),而(2x加上5)则对应于(2 5)。线性空间里没有定义两个向量之间的卷积操作,仅有加法和数乘这两种运算,实际上,多项式的乘积,就难以在线性空间内解释,可见线性空间的理论多么有限了。但要是依照我们先前对向量卷积的界定来处理坐标向量,那么,(1 3 2)与(2 5)相乘的结果就是(2 11 19 10)。

重新整理多项式形式时，发现乘积结果与常规方法计算一致，即(x*x+3*x+2)和(2*x+5)相乘后得到2*x*x*x+11*x*x+19*x+10，这一点毋庸置疑。本质上，多项式间的乘法运算等同于系数序列的卷积过程。究其原因，卷积操作本质上是在逐一计算x*x*x、x*x、x以及常数项的系数值，实际上将加法与求和两种运算融合在了一起。常规方式是先算乘积，再在合并相似项时才进行加法运算以x*x的乘数为例，会得到x*x，或者将x*x与5相乘，或者让3x和2x相乘

2 3 1

_ 2 5

6+5=11

这其实是向量的点乘关系。那么，卷积操作,就等同于一系列点乘关系。既然是系列点乘关系，我们就能想办法用矩阵形式来呈现这个流程。

2 3 1 0 0 0

0 2 3 1 0 0

==A

0 0 2 3 1 0

0 0 0 2 3 1

0 0 2 5 0 0

' == x

b= Ax=

2 11 19 10

'

从行的角度审视Ax，那么b的每一行都对应一个内积运算。A的每一行则代表序列的一种位移方式。显然，在当前这个特定情境下，我们清楚卷积运算具备交换与结合这两大性质，其原因在于，众所周知多项式乘法同样遵循交换律和结合律。通常情况下，这一结论依然适用。

在此,我们察觉到多项式,除了形成特定的线性空间外,不同的基之间还存在着某种独特的关联,正是这种关联,赋予了多项式空间以特殊的性质。

学习向量时，常会引用这样一个案例，其中甲拥有三只苹果，五只橘子，乙则有三只苹果，五只橘子，那么总共拥有多少只苹果和橘子呢？老师多次强调，橘子应当单独计算，苹果也需独立统计，两者不能相混淆。因此得到三加五等于八，五加三也等于八。确实，橙子与苹果不论怎样相加，都不会产生麻烦，然而，要是考虑橙子自乘，或者橙子乘苹果，这就变得难以解释了。

比如对于复数,要是仅仅将其理解为数偶（a,b),并且仅从线性空间的视角审视C2,那就显得过于粗略了。实际上,只要补充一个规则即(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc),情形立刻变得复杂起来。复变函数领域纷繁复杂的内容,人们早已熟知。另外，回想起信号分析中的一个核心原理，频域的相乘，等同于是时域或空间信号的叠加组合，与此处的状况极为吻合，究竟其中潜藏着怎样内在的关联，还有待深入探究。

从这个角度观察，复杂的卷积计算本质上只是基础运算的延伸形式。中学阶段所学的数学知识，实际上包含着不少精妙的学问（例如抽象代数）。回顾旧知能够获得新识，这句话确实很有道理。其实这个道理并不难理解，人类存在了数万年开yun体育app入口登录，但在很长时期里，人们只知道男女结合才能产生后代。精子与卵子的发现，以及生殖过程的研究，都只是近些年才逐渐明确的。

孔子认为，道理存在于平常生活中，我们应该经常用观察的态度分析周遭环境，甚至审视自身，这样才能明白事物的现象，也能理解现象背后的原因。

参考：

这个网址指向一个百度博客文章，具体地址是，访问这个链接可以查看相关内容，网站域名是百度，用户名为a__g，文章编号是10873722cab331ac4723e8f7。

这个网址指向中国Unix网的一个博客文章，作者是ID为76475的用户，文章标题是1682636，内容是展示一篇艺术作品。

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