1伯努利试验推广的概率分布

伯努利试验的推广及应用

伯努利实验属于一种基础的概率框架，该框架能够衍生出许多实际应用中的概率分布形式。本文阐述了从伯努利模型发展而来的几种关键分布类型，包括仅含两种结果的分布，表示n次试验成功次数的分布，描述首次成功所需试验次数的分布，涉及多个可能结果的分布开yun体育官网入口登录app，以及确定特定成功次数所需试验次数的分布。这些重要分布都在现实生产活动中有着具体的应用案例。

伯努利实验是一种基础的概率模型，涉及单一试验中的成功与失败结果，常用于描述随机事件的发生概率。两点分布是概率论中的一种简单分布形式，仅包含两种可能的结果，例如正面或反面。二项分布则扩展了这一概念，它关注在多次独立重复试验中特定结果出现的总次数，其概率计算依赖于试验次数和每次成功的概率。几何分布则聚焦于在一系列独立伯努利试验中，首次成功出现之前失败的次数，它提供了关于等待时间的信息。多项分布是二项分布的推广，允许在单次试验中存在多个可能的结果，并计算每种结果组合出现的概率。帕斯卡分布，也称为负二项分布，与几何分布类似，但关注的是在获得固定次数的成功之前失败的次数。这些分布模型在统计学、金融学、生物学等多个领域有着广泛的应用，为理解和预测各种随机现象提供了有力的工具。

伯努利实验是历史最早探讨的概率范例之一，它根本体现了某类试验特征：具备“两态”性质的随机实验。这种实验应用非常普遍，在企业产品品质管理与检测，金融领域风险预估与管控，以及生物学中群体遗传学等方面都占有特别重要的理论位置。

如果某个实验进行一次后，可能出现的情况仅有两种，即得到某个特定结果或得到另一个特定结果，为了方便说明，这两种情况被称作基本事件，分别记作A和B，那么这种实验就叫做伯努利实验。

1伯努利试验推广的概率分布

伯努利试验是指在相同条件下反复进行多次的随机实验，每个实验代表一次伯努利实验，而且任意两次实验的结果不会相互影响，在每次实验中事件发生的概率都保持不变，这种实验称为重伯努利实验。

一种随机实验具备若干种互不相容的两种可能结果，若实验进行时出现某种特定结果的几率是某个数值且与之互补的结果出现的几率是另一个数值，那么这种实验就属于扩展型的伯努利实验类型。

重复多次的伯努利试验构成一种随机实验，其中单次试验称为伯努利试验，试验结果包含基本事件和另一个事件，第次试验中事件出现的几率等于不出现的几率，两者相加等于一，如果事件发生的几率随试验次数变化，这种随机实验就属于广义重伯努利实验

根据伯努利实验、加重伯努利实验，还有扩而广之的伯努利实验和更广义的加重伯努利实验，可以很方便地引申出后面要讲的概率分布形式。

1.1两点分布

两点分布是从一次伯努利试验中提炼出来的简单离散型概率分布。

为了能够表述随机现象出现的可能性，在单次伯努利实验里设立随机变量，伯努利实验的结局包含两种情况，设定随机变量：当实验成功时取值，当实验失败时取值。仅实施一次伯努利实验的随机过程符合的分布称作二点分布，也就是，这里。二点分布亦被称作伯努利分布和分布。

1.2二项分布

二项分布源自重复伯努利实验，每次伯努利实验的结果由两个互斥情形组成，并且每次实验的开展彼此独立，不存在关联性。实验中每次试验事件出现的几率保持不变，若统计变量代表重复伯努利实验里事件出现的总次数，那么该次数等于某个数值的概率可以用特定公式计算

容易验证：，因此重伯努利试验的概率分布称为二项分布.

说到二项分布，就一定会牵扯到重复伯努利试验，由此也常常会想到广义的重复伯努利试验，那么这种广义的重复伯努利试验所对应的概率分布形式是什么呢？设想存在多次独立的伯努利试验，这些试验中每次事件出现的可能性都跟试验的顺序有紧密联系。设事件成功对应的伯努利试验的序号集合为A，那么集合A，如果A还代表广义重伯努利试验里事件成功的总次数，那么广义重伯努利试验中的随机变量遵循的概率分布是：

，其中代表集合内成分的数目，.不难证明，广义重伯努利实验关联的概率等于多项展开式中的各项数值.

1.3几何分布

几何分布源自重伯努利试验的延伸，其核心特征是作为二项分布的一种特殊情形，区别在于试验次数没有上限，能够取任意正数值，并且试验的最终结果体现为在重复进行伯努利试验的过程中，事件初次出现的情况。

反复实施单一试验，每次试验中某个结果出现的可能性是固定的，设随机数代表首次出现该结果所进行的试验次数，这个随机数遵循特定的统计规律，其分布形式由一个参数决定，这个参数就是该结果出现的概率，这种分布被称为几何分布，用特定符号表示

1.4多项分布

多项分布源自扩展的伯努利实验，反复独立执行若干次扩展的伯努利实验，假设每次实验出现某种结果的概率为特定数值，总共观察到的该事件出现次数为某个数值，那么该事件恰好发生若干次，恰好发生若干次，直至恰好发生若干次的概率值分别是：

这种分布之所以这样命名，是由于它符合多项式的一般表达式形式，因此，被称为参数为的分布类型。

多项分布属于一种概率分布类型，它涉及多个独立的参数，并描述了维随机变量的行为模式，这种分布遵循特定的数学关系，多项分布与二项分布之间存在紧密联系，当多项分布的参数具备特定值时，其产生的一维边缘分布恰好就是二项分布，这种边缘分布同样具有对应的参数设定

1.5帕斯卡分布

帕斯卡分布源于伯努利试验的进一步拓展，实施多次彼此独立的伯努利试验，设定

每一次伯努利实验里，出现特定结果的几率是，设随机数值为实验成功所需重复的次数，那么这个随机数值遵循以下分布规律：

，其中.

研究帕斯卡分布能够发现：若把直到试验成功次数记为事件，在重复伯努利试验中成功次数记为事件，单次伯努利试验成功记为事件，那么可以证明.即帕斯卡分布反映的是由一个特定的重复伯努利试验（成功次数）和一个单独伯努利试验成功组成的联合情形.

2 伯努利试验推广的概率分布的实际应用

2.1广义重伯努利试验的应用

广义重伯努利试验有个特点，就是同一事件发生的几率会随试验次数变化，这个性质跟现实里传染病的扩散情况很像，因此在医学上研究传染病传播时，一开始就用到了它，在传染病扩散期间，每个感染者通常会制造出新病菌，这样疾病扩散的可能性就增加了，反过来，每个没感染的人也能提升其他人免于被传染的几率，针对这个现象，法国数学家卜里耶创建了有名的“卜里耶坛子模型”

卜里耶坛子模型设想坛子起始状态有个黑球和个红球，执行次取球操作，每完成一次就放回球，同时往坛子里加入个与本次取球颜色一致的球，这个数值是正数，若为负则表示从坛子里拿走了个球。探讨三次试验中出现两个黑球一个红球的情况，分析结果为{黑，红开元ky888棋牌官网版，黑}和{红开元棋官方正版下载，黑，黑}的概率是否相同从普遍角度来看，若抽取球时得到的是若干个黑球和若干个红球，那么对于任意一种特定的颜色排列方式，其发生的几率，是否会因为排列方式的不同而有所变化呢？