pg下载通道 奥数网分享：斐波那契数列的若干表现

欧洲中世纪时期，极具才华的数学家斐波那契出生于意大利比萨市，其家庭为商人家庭。由于父亲在阿尔及利亚从事商业活动在此经商，所以幼年时他于阿尔及利亚学习，从而学到了诸多当时尚未在欧洲流传开来的阿拉伯数学知识。待其成年之后，他继承父亲的事业投身商业，足迹遍布埃及、希腊、叙利亚、印度、法国以及意大利的西西里岛。

斐波那契，是一位具备相当才能之人，且尤其擅长于数学方面的研究，他发觉当时阿拉伯数学相较于欧洲大陆更加发达，这对推动欧洲大数学的发展颇为有利，他在于其他国家以及地区进行经商之际，格外留意搜集当地有关算术、代数以及几何的资料，回国之后，就把这些资料予以研究并整理，编纂成《算经》（1202年，或者称作《算盘书》），《算经》的出版，致使他成为一位闻名于欧洲的数学家。继《算经》之后，他完成了《几何实习》这部著作，时间是1220年，他还编写了《四艺经》，这部著作完成于1225年。

《算经》在那时的影响是颇为巨大的，它是一部把阿拉伯文以及希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，在当时被视作欧洲人撰写的一部极为伟大的数学著作，在漫长的两个多世纪里始终被尊奉为经典著作。

当时于欧洲，虽对阿拉伯记数法以及印度算法有所知晓，然而只限在修道院内，一般之人仍只用罗马数学记数法，且尽量避开用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法，还介绍了印度人针对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，在欧洲大陆造成了极大影响，并且使当时数学的面貌得以改变。在这本书的序言中，他写道，他把自身的一些方法，以及欧几里得几何学里某些微妙的技巧，加到印度的方法当中，随后，他决定撰写此刻这本有15章的书，目的是让拉丁族人对这些事物不会那般生疏。

这本由斐波那契所作名为《算经》的书籍，里面记录着数量众多的代数问题以及它们相应的解答，针对所有的这些解法都开展了严谨的证明。接下来看到的是写在这本书籍里的一个饶有趣味的问题：

有一个人，他所想知道的是，在一年这么一段时期之内，一对兔子能够繁殖形成多少对兔子，所以呢，他就修筑了一道围墙，将一对兔子关放在里面，这是已知的情况，一对兔子，每个月都能够生下一对小兔子，并且，那一对兔子出生之后，会在第二个月开始生育小兔子了，要是，在一年的时间之内，都没有发生兔子死亡这种现象，那么请问，一对兔子在一年之内究竟能够繁殖成为多少对呢？

此刻而言，我们首先着手去寻觅兔子的繁殖规律，于第一个月之际，存在着一对成年兔子，到了第二个月的时候pg下载，它们产下了一对小兔，所以便有二对兔子，一对是成年的，一对是未成年的，到第三个月时，第一对兔子又产下一对小兔，而第二对已然成年，因此便形成了三对兔子，二对是成年的，一对是未成年的，月月皆是这般情形。

第1个月到第6个月兔子的对数是：

1，2，3，5，8，13。

我们并非难以找寻到，上面呈现的这一组数存在着这样的一种规律：也就是自第 3 个数起始，每一个数均是前面两个数相加之和。要是持续依照此规律进行书写，直至写到第 12 个数，便会得到：

给定这样一组数，分别是一 ，二 ，三 ，五pg下载麻将胡了，八 ，十三 ，二十一 ，三十四 ，五十五 ，八十九 ，一百四十四 ，二百三十三。

显然，第12个数便是一年内兔子的总对数，所以一年内1对兔子能够繁殖成233对。

在对这个饶好玩的代数问题予以解决的程序里，斐波那契收获了一个数列，鉴于人们为铭记他的这一发觉，于该数列之前增添一项“1”后获取数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……称作“斐波那契数列”，此数列的任意一项都被叫做“斐波那契数”，之后，于一些小学刊物也将这个数列形象地称作“兔子数列”。

在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：

斐波那契数列用于实际生活时，有着极为广泛且饶有趣味的应用。除动物繁殖外，植物生长同样和斐波那契数存在关联。数学家泽林斯基在一场国际性数学会议上，提及了树生长的问题：一棵树苗pg下载官方版打开即玩v1022.速装上线体验.中国，一年后会长出一条新枝，之后休息一年。到下一年，又会长出一条新枝，且每一条树枝按此规律长新枝。如此，第1年仅有主干，第2年有两枝，第3年有3枝，接着是5枝、8枝、13枝等，每年的分枝数恰好是斐波那契数。

生物学里所说的那个被称作 “鲁德维格定律” 的，其实就是斐波那契数列在植物学范围之内的运用。

下方这些实例，全都被放到小升初牵扯的考题层面，题目所呈现的样子有所不同。但最终都显露出斐波那契数列本来面目。

图1呈现的是一个树形图的生长进程，按照图里所展示的生长规律，第16行的实心圆点的数量是。

剖析与解答：存在一些题目，仅仅是其表达的形式有所不同，实际上只要透过那现象抓住其本质，那些不同的表达形式，所想要揭示的问题的实质是相同的。

这一题的实质是上面提到的生长树，是非常有名的斐波那契数列。

打眼一瞧图，能轻易瞅见，自第一行起，实心圆点这般排列，先是0，而后是1，接着又是1，随后是2，再往后是3，跟着是5 ，如此这般……

对于每一个空心圆点，它到下一行，只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点，它到下一行，可生出一个空心圆点和一个实心圆点，两个点。由当我们到达第六行的时候，能够从中看出，这一行存在的五个实心圆点，在到下一行时，必然能够生出5个实心圆点，并且另外五个会是空心圆点。然后，另外三个空心圆点，还能够生出三个实心圆点。这样一来，因此下一行所拥有的实心圆点数为5加3得出等于8个实心圆点。同样的道理，下一行的实心圆点数是，本行的所有实心圆点数加上所有空心圆点数，也就是8加5等于13点个实心圆点……无需再多说此情况，这实际上存在着一个极其明显的规律：也就是说，这一列数从第三个数开始算起，任一行所具有的实心圆点个数，都等于它前面两行个数的求和。因而很快能够推知结果是：0，1是一组，1，2是一组，3，5是一组，8，13是一组，21，34是一组，55，89是一组，144，233是一组，377，610是一组。其中第16行的实心圆点个数是610。

除此之外，实际上空心圆点的数量也是存有一定规律的，能够列举出来瞧一瞧：1，0，1，1，2，3，5，8……你能够发觉其中的规律吗？那么第16行空心圆点的个数究竟又是多少呢？

有着十个级台阶的楼梯，规定每一步能够迈一层台阶或者双重台阶，最多允许迈三层台阶，那么从地面抵达最上头那一级台阶，总共能够存在多少种不一样的走法呢？（华校思维导引计数综合二）

进行剖析以及求解 ，此道题目同样能够运用寻觅规律的方式 ，我们能够率先看待仅有1级台阶的情形着手。

一级台阶，有：1种；

2级台阶，有：1、1，2，共两种；

3级的台阶，能够存在这样几种走法，分别是把它分成1段、1段、1段，分成1段、2段，分成2段、1段，分成3段，总共是4种走法。

当处于5级台阶的情况，存在如下几种：有这样子一组，是1、1、1、1、1；还有一组是1、1、1、2；再者一组是1、1、2、1；另外一组是1、2、1、1；又有一组是2、1、1、1；还有一组是1、2、2；再有一组是2、1、2；还有一组是2、2、1；又有一组是1、1、3；再有一组是1、3、1；另外一组是3、1、1；还有一组是2、3；再有一组是3、2，总共是13种，这13种等于7加上4再加上2种。

6级台阶时，得到24=13+7+4种；

即：n级台阶时，所有的走法种数是它的前三种走法的和。

由此得到，10级台阶时为274种。

还有，能用加法原理倒着推，这也挺重要的。要登上第10级台阶，按照题意，完成这件事的方法能分成三类：其一，是从第9级台阶跨一步上去；其二，是从第8级台阶跨两步上去；其三，是从第7级台阶跨三步上去，这三类里每一类方法都能达成“上第十级台阶”这个任务，有着典型的加法原理特点；照这样类推，那么只要有前三个台阶数的答案，后面的逐步加上去就行啦。