流体动力学基础-伯努利方程的应用

流体力学的根基中，伯努利方程的运用广泛，包括泵对液体能量提升的考量。具体应用有：常规的水力计算、节流式流量计、驻压强和测速管以及流动吸力问题。以常规水力计算为例，如例3-1所示，从水池引出一管道，管道高度H为7米，内径D为100毫米，压力表显示的压力为0.5大气压，水池至压力表间的水头损失为1.5米。要求计算流量。解：流量Q等于截面积A乘以流速V，已知管径A，需计算流速V。基准面设在管道处，选取1-1和2-2两个截面，列出伯努利方程，代入相关数据，得到：断面1：p1=0.5 atm，V1=？，z1=7m，断面2：p2=？，V2=？，z2=？。2250662.57，0，0，0，1.59800，2Vg n 【 解 释 】：求出q，即q为水管流量，计算公式为2*9.8*(7*1.5*5.17)*2.54( / )V m s^2，2^2，2^2，3*2.54* *(0.1)^4，41.99*10^(- / )Q V A V Dm s^2，31.99*10^(- / )m s 【 例 3-2 】：如图所示，这是一款消防水龙带，喷嘴与泵的相对位置如图所示。

泵的出口压力达到2个大气压（表压），泵排出管道的断面直径为50毫米，喷嘴出口直径为20毫米；水龙带与水头之间的损失为0.5米，喷嘴水头损失为0.1米。现需计算喷嘴出口流速、泵的排量和B点的压强。以A点位置为基准面，列出A、C两个断面的伯努利方程。根据连续性方程，解出泵的排量。具体计算如下：泵排量Q=2×A×C/(Cp×Vp×Vz×hg×g)=2×2026503.2/(0.5×0.1×0.6×A×C×Cp×Vp×Vz×hg×g)=0.6A/(Cp×Vp×Vz×hg×g)。其中，Cp=0.16，A=0.2，C=0.00623。B点的压强可通过列出A、B或B、C断面的伯努利方程求解。例如，列出A、B断面的伯努利方程：pA+pV2/2g+pghA=pB+pV2/2g+pghB。由此可以求出B点的压强。例如，水龙带出口速度为19.85米/秒，该泵排量为0.00623立方米/秒，B点的压力为108350帕。

以3-3断面为基准，构建1-1与3-3断面间的伯努利方程；以2-2断面为基准，建立2-2与4-4断面间的伯努利方程。在1-1、3-3断面间，根据已知条件h1=0.3m，h2=1.0m，h3=2.5m，p0为表压，忽略水头损失，联立方程求解；在2-2、4-4断面间，同样根据已知条件，联立方程求解。通过解方程，得到喷射高度，进而计算出喷水出口流速为6.57m/s，喷射高度为2.2m。

工业中常用的节流式流量计主要有孔板、喷嘴和锥形（又称文丘里管）三种类型。这种流量计的特点是装置中流体断面逐渐收缩。其基本原理是，当流体流经节流装置时，流断面收缩，在收缩断面处流速增加，压强降低，从而在节流装置前后产生压差。在选定特定节流装置的情况下，流体流量越大，节流装置前后的压差也越大，因此可以通过测量压差来计算流量大小。例如，对于孔板，在水平管路上，若孔眼断面面积为A，流速为v，根据连续性条件，可列出伯努利方程。流量系数、压差水头等参数对于液-气压差计和液-汞压差计均有应用。在图3-4中，一个U型水银压差计连接在直角弯管处。

已知水平段管道直径为d1=300mm，垂直段管道直径为d2=100mm，管道中的流量为Q=100L/s，请问：压差计的读数应该是多少？不计水头损失，以0-0作为基准面，列出1-1、2-2两个断面的伯努利方程：由等压面a-a得到的压力关系，因此，2p1/2V1^2 + zg + 2p2/2V2^2 + zg = 2p0/2V0^2 + zg + 2p1/2V1^2 + zg + 2p2/2V2^2 + zg，其中，V1 = 1.42m/s开yunapp体育官网入口下载手机版，V2 = 12.74m/s，Hgp1 = 0.1，Hgp2 = 0.1，z = 0.3，z = 0.1。即压差计读数为649mm，驻压强和测速管在分岔的流线上选取上游远离障碍很远的某点(p0、u0)，与A点列出伯努利方程，两点的高差为0，且A点速度uA等于0。

A点被称为驻点，意味着流体在遇到障碍物前会暂时停止。通过测量某处的驻点压强，我们可以计算出该点的流速。这种测量流速的仪器叫做测速管，也称为皮托管，它有单孔和双孔两种类型。在流动流体中加入障碍物后，驻点处的压强会升高，这种升高的压强是由动能转化为压能的结果。静压强、动压强和总压强或驻点压强分别用Ap、u、pg表示。校正系数c由实验确定，通常约为0.95-1.0。单孔测速管和双孔测速管是皮托管-普朗特管，它将测压管和测速管结合在一起制成，其原理与单孔测速管相同。经过试验，如果按照图示尺寸制造，其校正系数c等于1，使用起来非常方便。【例3-5】水从立管下端泄出，立管直径为d50mm，射流冲击一个水平放置的半径R150mm的圆盘，若水层离开盘边的厚度为1mm，求流量Q及汞比压计的读数h（不计水头损失）。

以圆盘为基准面，建立1-1、2-2断面的伯努利方程；依据连续性条件，将上述两个方程联立，从而得到流量Q2与V2、V3之间的关系，即Q2=Q1+Q3；针对1-1、3断面的伯努利方程，由于a-a为等压面，可以推导出流量Q3为8.23L/s，同时水银比压计的读数为396mm；流动流体在吸力自喷管射出液流经过收缩扩散管的细径处，流速急剧增大，导致该处的压强低于大气压强，从而形成真空；若在此处连接一管道通至含有液体的容器，液体便会被吸入泵内，并与射流液体一同流出。

在喷嘴前的A断面以及水流流出喷嘴时的C断面，列出能量方程（暂不考虑能量损失），对连续性条件进行移项。由于AAAC，上式左端为正值，即PCPA，而AC越小，PC值越低。当PC值低于大气压时，若在C处开一小孔，管内液体不会漏出，反而外面的空气会被大气压压入管子。若在小孔上接一根管子，其下端浸在液箱中，管内液面在大气压作用下会上升，此时箱内液体就会被C处存在的真空度吸到水平管中，并被夹带冲走。这即是喷射泵或射流泵的作用原理。

某设备需利用射流泵制造200mmHg的真空度，具体参数如下：H2高度为1.5米，喷管入口直径d1为50毫米，出口直径d2为75毫米，出水口与大气相通。要求计算H1的值（忽略能量损失）。在分析过程中，我们选取了真空室断面1-1、出水管口断面2-2以及水池液面断面0-0进行截面分析。在断面1-1处，压强为0.2136MPa；由于出水口与大气相通，水池液面与大气相通，因此p2=p0=0。针对断面1-1和2-2，我们列出了能量方程。在计算过程中，未考虑管道中的能量损失。然而，在实际应用中，若要使用射流泵产生上述真空度，水箱的设置应……图中展示了一种抽水设备，该设备通过喷射水流在吼道断面产生的负压，能够将M容器内的积水有效抽出。

已知：H、b、h三个参数，分析如下：吼声有效断面面积A1与喷嘴出口断面面积A2之间需要满足何种条件开元ky888棋牌官网版，才能使抽水装置启动工作（忽略能量损失）？以1-1作为基准面，列出0-0、1-1断面的能量方程；以0-0为基准面，列出1-1、2-2断面的能量方程；将上述两个方程联立，并考虑连续性条件，确保n断面抽水装置能够正常工作；综上所述，得到21 10 0 0 2p Vh g 1p b 2 21 1 2( ) 0 02 2p V VH h g g 2 21 12 2V gHAV gHA 12A HA h b等式；绘制水头线时，首先确定基准面0-0；接着，将管线轴心线与基准面之间的连线作为位置水头线；然后，在各断面的轴心向上绘制垂线，并在垂线上截取与断面压力水头相等的高度，得到测压管水头，并将各断面的测压管水头连接起来，形成测压管水头线；在测压管水头线上截取与流速水头相等的高度，得到该断面的总水头，将各断面的总水头连接起来，形成总水头线；最后，总水头线下降的高度即为断面之间的水头损失。

水头线绘制方法（定性）首先，需确定基准面0-0；其次，分段处理，在管道变截面处进行垂向划分；接着，确定位置水头线，管路轴心线即为该位置水头线；然后，绘制总水头线（起点终点），等径管中总水头线呈现倾斜下降的直线，下降幅度与损失水头hw相同，串联管路中直径D与阻力损失hf相关，总水头线坡度粗管大细管小，水头线陡；若考虑局部水头损失，在局部障碍处，总水头线应垂直下降一段距离；总水头线的起点、终点应与实际流体在该断面的总水头相吻合；最后，绘制测压管水头线（终点起点），在等径管中，由于Q、A、v一定，流速水头确定，测压管水头线与总水头线平行，其垂直间距等于流速水头。

在同一串联管路中，测压管水头线的起点和终点需与实际流体在该断面的测压管水头相匹配，直径D、流速v等参数需明确。测压管水头线与总水头线间的距离、粗管与细管的大小关系，以及水头线的绘制方法，例如ZO O22Vgp 1 2wh，可举例说明：对于直径相同的虹吸管，首先确定通过实际水流时的总水头线和测压管水头线；其次，在图上标注可能出现的负压区；最后，标出真空值最大的断面。在特定情况下，如全部可能为负压区，A A断面的真空值最大，计算公式为v/2g2A d。在恒定液面测压管水头线中，泵对液流能量的增加和泵的效率n，有能量输入时的伯努利方程q，泵的扬程(H)表示泵对单位重量液体所做的功，m1n。列1-1、2-2断面的能量方程wp V p Vz H z hg g。思考：对于右图，上述公式如何进行简化？如果不考虑能量损耗，那么泵能够将液体提升多高？若水从2点流向1点，并且泵被替换成水轮机，那么伯努利方程应该如何进行表述？在存在泵的条件下，伯努利方程描述了n台泵的有效功率，即输出功率，这是指每台泵在单位时间内对所输送的液体所施加的功。

泵的效率（即输出功率与输入功率的比值）以瓦、千瓦、马力表示，分别为1000瓦、千瓦、735马力。在例3-8中，测定水泵扬程的装置如图所示，已知：水泵吸水管直径d1为200毫米，压水管直径d2为150毫米，测得流量Q为0.06立方米每秒，水泵进口真空表读数为4米水柱，水泵出口压力表读数为2个大气压（工程大气压），水管与两表连接的测压孔位置之间的高差h为0.5米。若不计水管的能量损失，(1)试求此时的水泵扬程H；(2)若同时测得水泵的轴功率N为25马力，试求水泵的效率n。在解答中，列出1、2两断面的伯努利方程，已知量有：解得，泵的扬程为H=24.9米水柱，泵的效率为79.7%，效率计算公式为：效率=输出功率/输入功率，其中输出功率为735马力开yun体育官网入口登录app，输入功率为25马力。在例3-9中，抽水泵装置如图所示。

已知条件：流量为0.001立方米每秒，管道直径为0.01米，吸入管水头损失为1米，排水管水头损失为25米。要求计算：泵的扬程H、真空表读数pB以及泵的有效功率N泵。解答：列出1-1、2-2两个断面的伯努利方程，根据已知条件求解，得到泵的扬程H等于32米水柱。接着，取1-1断面B端面列能量方程，计算得到泵的有效功率。因此，泵的扬程为32米水柱，吸水口真空表读数为98000帕斯卡，泵的有效功率为313.6瓦特。