对卷积的定义和意义的通俗解释
对卷积的困惑
卷积这个理论，过去曾经接触过，却始终未能理解透彻。书本里通常会有它的说明，列举诸多特性，还会借助案例和图像来阐明，然而究竟为何要这样构建，这样运算，其深层目的何在，往往解释得含糊不清。从事物理学研究的人，若一个方程式无法提供贴合现实、易于理解、直白明了的阐释，也就是其内在的“物理”内涵，就会觉得有所缺失，认为并未真正掌握。
教科书上一般定义函数
的卷积
如下：
连续形式：
离散形式：
并且说明了，首先对g函数实施反转操作，相当于在数轴上把g函数从右侧向左侧折叠过来，这就是卷积中“卷”字含义的出处。
接下来将g函数平移至n的位置，在此处对两个函数的相应点进行相乘，再把所有乘积结果加在一起，这就是卷积运算中“和”的部分。
这个仅从运算角度对公式作出说明，在数学层面无可指摘，然而深入探究，为何要先将对象颠倒再进行位移，这种安排的缘由实在难以明了。
幸运的是，互联网这个强大的工具，特别是知乎、CSDN这类平台，汇聚了许多热心的网友，他们用很多生动形象的比喻来阐释卷积的概念，例如卷地毯、投掷骰子、拍打耳光、储蓄等，可以参考知乎上两个广受关注的问题，那里有众多网友的精彩解答，参与讨论的人非常多。
怎样用简单的话说明卷积的原理呢，这个问题在知乎上有人讨论过，链接是https://www.zhihu.com/question/22298352。
这种数学运算为何被称作「卷」运算？,它的名称来源是什么？
读完后觉得相当活泼有趣，不过深入琢磨，仍然觉得部分内容不够明晰，甚至可能存在不足，或者尚有提升空间（这些方面后面我会进行探讨）。
经过两夜的反复思索，许多困惑逐渐清晰，于是将心得记录下来，希望与网友交流探讨，一起进步。若有欠妥之处，敬请指出批评指正。
明确一下，这篇文章主要想解释两个问题：
卷积这个术语如何进行阐述？“卷”具体指代什么含义？“积”又代表什么意义？
2. 卷积背后的意义是什么，该如何解释？
考虑的应用场景
为了更好地理解这些问题，我们先给出两个典型的应用场景：
1. 信号分析
一个输入信号f(t)进入一个线性系统，这个系统的特性由单位冲击响应函数g(t)表征，那么最终的输出信号会是什么样子？实际上，运用卷积运算能够准确计算出这个输出信号。
2. 图像处理
输入一张图像f(x,y)，使用定制化卷积核g(x,y)实施卷积运算后，所得图像会呈现模糊化，边缘突出等不同变化。
对卷积的理解
对卷积这个概念的认识：所谓两个函数的卷积，其核心是先将其中一个函数进行颠倒，接着进行移动式的相加处理。
连续情形里，叠加意味着对两个函数相乘的结果进行积分运算，离散情形下则是进行带权重的求和，为了方便起见，就通称为叠加。
整体看来是这么个过程：
颠倒，接着是平移，然后是堆砌，再次平移，接着堆砌，再平移，然后堆砌，如此反复进行
多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。
卷积中的“卷”表示函数的镜像，即将 g(t) 转变为 g(-t) 这一步骤；
卷积的“积”，指的是滑动积分/加权求和。
部分文章仅着重论述滑动累加，却忽视了函数的镜像，这种表述不够周全；另一些文章对“卷”的阐释实质上是“积”，存在概念混淆的情况。
对卷积的意义的理解：
从“积累”的演变中可以看出，我们获得的累加结果，是一个整体性的认知。以信号处理为例，卷积的成效不仅取决于当前时刻输入信号的反馈数值，还取决于此前所有时段输入信号的反馈情况，顾及了过往所有输入所产生的综合影响。图像处理里，卷积处理的结果，就是把每个像素周围的，乃至整个图像的像素都纳入考量，对当前像素实施某种加权处理。由此可见，“积”体现的是全局性，或者说是一种“融合”，将两个函数在时间或空间维度上进行交织。
为什么需要执行“卷”这个操作？直接相乘不可以吗？我的看法是，进行“卷”（翻转）其实是为了施加一种限制，它明确了在计算“积”的时候应该以什么为基准。在信号处理的情境下，它规定了在哪个特定时刻的上下进行计算“积”，在空间处理的情境下，它规定了在哪个具体位置的范围进行累加操作。
举例说明
下面举几个例子说明为什么要翻转，以及叠加求和的意义。
例1：信号分析
输入信号为 f(t) ，该信号具有时间依赖性。系统响应函数为 g(t) ，如图所示，该函数随时间呈指数形式减小，其物理内涵在于：若在 t=0 时刻施加输入，则该输入会随时间逐渐减弱。具体而言，当时间达到 t=T 时，原本在 t=0 时刻的输入 f(0) 将会衰减至 f(0)g(T) 的水平。
因为信号不断接续传送，每时每刻都有新数据传输进来，因此，最终得到的结果是所有先前输入数据的综合作用。根据图像展示，在第十个时间点，最终响应值与图中特别标注的部分密切相关。那个f十的值，由于是刚刚输入的，因此它的输出值应当是f十乘以g零，而时间点九的输入f九，仅仅经历了一个时间段的减弱，因此它生成的结果应该是f九乘以g一，依次类推，也就是图中虚线展示的关联。这些点逐一相乘并累计，便得到T等于十时的输出数值，这个数值同时是函数f与g在T等于十时进行的卷积运算所得结果。
这个对应关系显得有些杂乱，是颠倒的，因此，我们让g函数进行镜像处理，变为g(-t)，这样看起来就顺眼了，注意到了吗？这就是卷积之所以要“卷”，需要反转的道理，这是从它的实际意义中得出的结论。
图像虽然已经调顺，但仍有轻微偏差，因此需要再移动T个单位，得到下图所示，这个图形是对本文开头卷积定义的一种视觉化说明：
因此，针对T时刻的卷积运算，需要坚持的规则是：t加上T减去t，结果等于T。这个规则的作用，读者可以自行领悟。
例2：丢骰子
关于知乎上那个关于卷积如何简单说明的问题，马同学给出的答案里，有一个通过掷骰子来解释卷积应用的故事，这个例子非常精彩，很多图片都选自他的文章，在此特别致谢
需要计算的是：存在两枚骰子，当它们同时被掷出时，两个骰子显示的数字之和等于4的可能性有多大？
考察一下，两颗色子数值合计为四的组合存在三种情形：第一是数字一与数字三的组合，第二是数字二与数字二的组合，第三是数字三与数字一的组合
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
写成卷积的方式就是：
在这里我想进一步用上面的翻转滑动叠加的逻辑进行解释。
首先，由于两个骰子的点数总和为4，需要满足这一条件，因此我们仍然将函数 g 进行反转处理，接着将阴影部分上下对应的数值相乘，最后将所有乘积结果累加起来，这实际上等同于计算自变量为4时的卷积值，具体效果如图所示：
接下来，经过这种转换，能够便捷地拓展来计算两个骰子点数合计为 n 的几率，这就是函数 f 和 g 的卷积 f*g(n)，具体示意图展示如下：
根据图像可以知道，函数 g 的移动，导致点数总和增加。这个案例中，对 f 和 g 的限制就是点数总和，它也是卷积运算的输入值。如果对概率感兴趣的话，可以计算一下，当两个骰子每个面出现的几率相同，点数总和为 n=7 时，出现的可能性最大。
例3：图像处理
还是借鉴知乎上有关卷积通俗说明的问题里马同学所举的例子，图像能够看作是矩阵形态，具体内容见马同学文章中的附图
图像的平滑操作或边缘检测功能，同样能够通过一个g矩阵来描述，例如：
注意，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相当于：
那么函数f和g的在（u，v）处的卷积
该如何计算呢？
按卷积的定义，二维离散形式的卷积公式应该是：
卷积的界定方式涉及x轴和y轴两个维度上的求和运算，这与前面离散公式中的i和j两个索引相对应，其理论范围是无限延伸的，从负无穷大到正无穷大。然而，现实场景往往存在限制条件。以之前提到的图像处理函数g为例，它本质上是一个3x3的方阵，表明除了中心位置以外，其它所有位置的计算结果都为零值。鉴于这一情况，先前给出的公式实际上已经简化了，它仅仅选取了坐标（u,v）周边的点来进行运算。因此，实际的操作流程是这样的：
首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：
接着，需要将图像处理矩阵进行反转，这个反转方式有多种解释，但实际作用相同，包含以下几种操作：（1）先水平颠倒，再垂直颠倒；（2）先水平颠倒，再垂直颠倒，具体操作如下：
原始矩阵：
翻转后的矩阵：
（1）先沿x轴翻转开yun体育app入口登录，再沿y轴翻转
矩阵第一行从左到右依次是b_{1,-1}、b_{1,0}、b_{1,1}，第二行从左到右依次是b_{0,-1}、b_{0,0}、b_{0,1}，第三行从左到右依次是b_{-1,-1}、b_{-1,0}、b_{-1,1}，转换后矩阵第一行从左到右依次是b_{1,1}、b_{1,0}、b_{1,-1}，第二行从左到右依次是b_{0,1}、b_{0,0}、b_{0,-1}，第三行从左到右依次是b_{-1,1}、b_{-1,0}、b_{-1,-1}，最终结果等于g的转置形式
（2）先沿y轴翻转，再沿x轴翻转
矩阵先变为另个样子，接着又变回最初形态，等于g的变种形式
计算卷积时，就可以用
的内积：
这个公式有个特性，参与相乘的变量a和b的下标总和恒等于（u,v），这样做是为了对加权累加施加限制。这也是为什么要把矩阵g进行颠倒的原因。
这个计算得出的是在点u和v位置的卷积值，沿着x轴方向或者y轴方向移动，能够计算出图像所有点的卷积，其最终得到的是经过多种处理后的图像，例如包含了平滑和边缘提取等效果。
再仔细琢磨一下，在计算图像卷积时，我们直接从原始图像矩阵中选取了点（u,v）的元素，为什么要选这个位置的元素，根本原因在于需要符合前述的条件。计算（u，v）点的卷积，由于g矩阵为3x3结构，其下标与（u,v）相加必须等于3x3的乘积，因此只能选取原始图像中以（u开元ky888棋牌官网版，v）为基准点的3x3块，也就是图中被标记出来的部分。
换个角度来看，假如g矩阵的规模不是3x3，而是变成了6x6，那么我们就要在原始图像里选取以（u，v）为基准点的6x6矩阵来执行运算。从这里可以看出，这种卷积运算实际上是将原始图像中邻近的像素点全部纳入考量，进而完成合并处理。邻近区域的大小跟g矩阵的尺寸直接相关，尺寸越大，牵涉到的周边像素数量就越多。矩阵的构造方式开yunapp体育官网入口下载手机版，决定了混合生成的画面，与原本的影像相比，是变得不够清晰，还是更加鲜明。
例如，该图像处理矩阵通过合并邻近像素的数值，实施算术平均运算，从而让画面轮廓变得柔和，视觉上呈现出朦胧感：
这种图像处理矩阵能够突出像素值差异显著的区域，增强轮廓线，对于数值变动柔和的部分则不受干扰，最终实现轮廓提取的目标：
对网上一些解释的不同意见
网络上有若干种对卷积的直观说明，比如在知乎问答卷积为何称作「卷」积？中荆哲的见解，以及在问题怎样用浅显易懂的方式解释卷积？中马同学等人的论述里，提出了以下类比。
实际上图中所谓的“卷”，指的是进行累加运算的方向，并非表示反转。所以这种说法，并没有把卷积的真正意义讲清楚，对于“卷”的看法需要重新审视。
一些参考资料
《数字信号处理（第二版）》程乾生，北京大学出版社
《信号与系统引论》 郑君里，应启珩，杨为理，高等教育出版社
