格物致知——卷积

格物致知——卷积

空间转录组分析中的反卷积操作大家都很熟悉了，然而，对于“卷积”这一概念，我们仍感陌生。我抱着学习的心态进行了搜索，就像是在茫茫人海中寻找那个人，终于，在众多信息中找到了palet的一篇推文，其中对“卷积”的讲解既深入又浅显易懂。现在，我将这些内容整理出来，分享给大家，以免将来忘记。

基本概念了解

教科书上一般定义函数 f,g 的卷积 f*g(n)如下：

若将g(x)视为响应函数，则卷积积分旨在对g(x)进行翻转和平移，这一步骤被称为“卷”，随后对齐后的f(x)与g(x)执行积分运算，即所谓的“积”，从而完成卷积运算。

格物（举例说明）

为了更好地理解这些问题，我们来了解两个典型的应用场景：

1. 信号分析

输入信号f(t)在经过线性系统g(t)的处理后，其输出信号实际上是通过卷积运算来实现的。

图中可见，输入信号f(t)呈现时间依赖性。系统响应函数g(t)随时间呈指数衰减趋势。此函数的物理含义可表述为：当t=0时，若存在一个输入，那么随着时间推移，该输入将逐渐减弱。换句话说，当达到t=T时刻，t=0时刻的输入f(0)的数值将衰减至f(0)乘以g(T)。

由于信号是持续接收的，每一瞬间都会有新的信号加入，因此开元棋官方正版下载，最终的输出结果反映了所有先前输入信号的累加效应。具体来看，在T等于10的时刻，输出的结果与图中标注的部分紧密相连。f(10)作为新输入的值，其输出自然应当是f(10)与g(0)的乘积，而针对t=9时刻的输入f(9)，它仅经历了单一时间单位的衰减，因此其输出结果应当是f(9)与g(1)的乘积，这一过程可以类推开yun体育app入口登录，正如图中虚线所展示的那样。这些对应值相乘并逐项相加，最终得到T等于10时刻的输出信号数值；此数值同样代表函数f与函数g在T等于10时刻的卷积结果。

显而易见开yunapp体育官网入口下载手机版，那组对应关系看起来颇为杂乱，且计算过程相对繁琐，因此我们决定将g函数进行折叠，转化为g(-t)，并且在此基础上再向右平移T个单位，如图所示，这样一来，整个对应关系就变得一目了然了。这也正是为何在进行积分操作前需要先进行“卷曲”操作的原因，通过这样的处理，运用约束条件t+ (T-t) = T来进行卷积操作就变得更加易于理解了。

2. 图像处理

将图像f(x,y)输入，通过特定构造的卷积核g(x,y)实施卷积操作，输出的图像将呈现出模糊、边缘增强等特性。图像可被表达为矩阵结构：

图像处理中的函数，例如平滑处理或边缘检测，同样可以通过一个g矩阵来进行表达。

注意，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相当于：

函数f(x,y)可表示为ax,y，而函数g(x,y)则表示为bx,y。因此，当考虑这两个函数在点(u，v)的卷积时，其卷积公式可写为：

根据卷积的定义，其操作涉及在x轴和y轴两个维度上从负无穷累加至正无穷。然而，在现实世界中，事物往往是有边界的。为了便于理解，我们之前提到的图像处理函数g实质上是一个3x3的矩阵。这表明，除了原点周围，其余所有点的数值均为0，计算时仅选取了坐标(u,v)周边的点进行操作。

我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵如下：

然后将图像处理矩阵翻转（以圆点为中心取对称），其结果如下：

计算卷积时，就可以用f()和g()翻转后的内积直接求解了。

该公式具有一个显著特征，即在进行乘法运算时，参与运算的两个对应变量a和b的下标之和均为（u,v）。这一设计的初衷是为了对加权求和过程施加一定的限制。因此，我们才需要对矩阵g进行翻转操作。

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